{"id":4982,"date":"2026-05-27T06:29:33","date_gmt":"2026-05-27T04:29:33","guid":{"rendered":"https:\/\/g7itchme.wordpress.com\/?p=4982"},"modified":"2026-05-27T06:29:33","modified_gmt":"2026-05-27T04:29:33","slug":"die-fakultat-winzige-regel-gewaltige-zahlen-und-wie-du-sie-selbst-berechnest","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technodidact.de\/en\/die-fakultat-winzige-regel-gewaltige-zahlen-und-wie-du-sie-selbst-berechnest\/","title":{"rendered":"Die Fakult\u00e4t: winzige Regel, gewaltige Zahlen \u2013 und wie du sie selbst berechnest"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Autor: DerSchneider<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Einleitung<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Was haben die Anordnung von Spielkarten, die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns und die Anzahl m\u00f6glicher Passw\u00f6rter gemeinsam? Sie alle lassen sich mit einer der einfachsten, aber gleichzeitig am schnellsten wachsenden Funktionen der Mathematik beschreiben: der&nbsp;<strong>Fakult\u00e4t<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Kaum eine andere Operation f\u00fchrt derart rasch in astronomische Dimensionen. W\u00e4hrend&nbsp;<code>10!<\/code>&nbsp;noch gut handliche 3,6 Millionen betr\u00e4gt, sprengt&nbsp;<code>100!<\/code>&nbsp;jede Vorstellungskraft \u2013 die Zahl besitzt 158 Stellen. Genau diese Eigenschaft macht die Fakult\u00e4t sowohl in der Kombinatorik als auch in der Informatik, der Statistik und vielen technischen Disziplinen unverzichtbar.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dieser Artikel erkl\u00e4rt dir nicht nur, was die Fakult\u00e4t ist und wie du sie von 1 bis 100 berechnest. Du erf\u00e4hrst auch, wo sie im Alltag und im Ingenieurwesen vorkommt. Vor allem aber bekommst du eine&nbsp;<strong>praktische Anleitung<\/strong>, um dir mit wenigen Zeilen Code deine eigene Fakult\u00e4ten-Tabelle zu erstellen \u2013 inklusive CSV-Datei f\u00fcr die Weiterverarbeitung.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Hauptteil<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">1. Was ist eine Fakult\u00e4t? \u2013 Die Grundidee<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Fakult\u00e4t einer nichtnegativen ganzen Zahl&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>&nbsp;(geschrieben&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>!) ist definiert als das Produkt aller nat\u00fcrlichen Zahlen von 1 bis&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>:<math display=\"block\"><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><mo>\u00d7<\/mo><mn>2<\/mn><mo>\u00d7<\/mo><mn>3<\/mn><mo>\u00d7<\/mo><mo>\u22ef<\/mo><mo>\u00d7<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>!=1\u00d72\u00d73\u00d7\u22ef\u00d7<em>n<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sonderfall:&nbsp;<math><semantics><mrow><mn>0<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>0!=1&nbsp;(wichtig f\u00fcr viele Formeln).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Beispiele:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><math><semantics><mrow><mn>1<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>1!=1<\/li>\n\n\n\n<li><math><semantics><mrow><mn>2<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>2!=2<\/li>\n\n\n\n<li><math><semantics><mrow><mn>3<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>6<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>3!=6<\/li>\n\n\n\n<li><math><semantics><mrow><mn>4<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>24<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>4!=24<\/li>\n\n\n\n<li><math><semantics><mrow><mn>5<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>120<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>5!=120<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Schon bei kleinen Schritten wird das Wachstum extrem:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">n<\/th><th class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">n!<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>5<\/td><td>120<\/td><\/tr><tr><td>6<\/td><td>720<\/td><\/tr><tr><td>7<\/td><td>5.040<\/td><\/tr><tr><td>8<\/td><td>40.320<\/td><\/tr><tr><td>9<\/td><td>362.880<\/td><\/tr><tr><td>10<\/td><td>3.628.800<\/td><\/tr><tr><td>15<\/td><td>\u2248 1,31 \u00d7 10\u00b9\u00b2<\/td><\/tr><tr><td>20<\/td><td>\u2248 2,43 \u00d7 10\u00b9\u2078<\/td><\/tr><tr><td>50<\/td><td>\u2248 3,04 \u00d7 10\u2076\u2074<\/td><\/tr><tr><td>100<\/td><td>\u2248 9,33 \u00d7 10\u00b9\u2075\u2077<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ab etwa&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo>=<\/mo><mn>70<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>=70&nbsp;\u00fcbersteigt die Fakult\u00e4t die Darstellbarkeit vieler Taschenrechner.&nbsp;<math><semantics><mrow><mn>100<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>100!&nbsp;ist so gro\u00df, dass es mehr Stellen hat als Atome im beobachtbaren Universum (etwa 10\u2078\u2070) \u2013 ein eindrucksvolles Beispiel f\u00fcr kombinatorische Explosion.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">2. Wof\u00fcr braucht man Fakult\u00e4ten? \u2013 Anwendungen im echten Leben<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Fakult\u00e4t ist der zentrale Baustein der&nbsp;<strong>Kombinatorik<\/strong>, also der Mathematik des Z\u00e4hlens und Anordnens.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">2.1 Permutationen \u2013 Wie viele Anordnungen gibt es?<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Anzahl der M\u00f6glichkeiten,&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>&nbsp;verschiedene Objekte in einer Reihe anzuordnen, ist genau&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>!.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Beispiel: Du hast 5 verschiedene B\u00fccher. Wie viele Reihenfolgen gibt es im Regal?<br>Antwort:&nbsp;<math><semantics><mrow><mn>5<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>120<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>5!=120.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">2.2 Binomialkoeffizienten \u2013 Ziehen ohne Zur\u00fccklegen<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Anzahl der M\u00f6glichkeiten, aus&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>&nbsp;Elementen&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>k<\/em>&nbsp;auszuw\u00e4hlen (ohne Reihenfolge), ist:<math display=\"block\"><semantics><mrow><mrow><mo fence=\"true\">(<\/mo><mfrac linethickness=\"0px\"><mi>n<\/mi><mi>k<\/mi><\/mfrac><mo fence=\"true\">)<\/mo><\/mrow><mo>=<\/mo><mfrac><mrow><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>\u22c5<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo>\u2212<\/mo><mi>k<\/mi><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/semantics><\/math>(<em>k<\/em><em>n<\/em>\u200b)=<em>k<\/em>!\u22c5(<em>n<\/em>\u2212<em>k<\/em>)!<em>n<\/em>!\u200b<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Das ist die Grundlage der Lotto-Wahrscheinlichkeit (6 aus 49), von Qualit\u00e4tskontrollen, von Stichprobenverfahren in der Elektrotechnik (z.\u202fB. Auswahl von Pr\u00fcflingen aus einer Charge) und vielen statistischen Tests.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">2.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Poisson-Verteilung, die Exponentialfunktion&nbsp;<math><semantics><mrow><msup><mi>e<\/mi><mi>x<\/mi><\/msup><\/mrow><\/semantics><\/math><em>e<\/em><em>x<\/em>&nbsp;(definiert als unendliche Reihe \u00fcber Fakult\u00e4ten) und zahlreiche Verteilungsfunktionen enthalten Fakult\u00e4ten bzw. deren Verallgemeinerung, die Gammafunktion.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">2.4 Informatik und Algorithmik<\/h4>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Laufzeitanalyse<\/strong>: Manche Algorithmen (z.\u202fB. Brute-Force f\u00fcr das Traveling-Salesman-Problem) haben eine Laufzeit von\u00a0<math><semantics><mrow><mi>O<\/mi><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math><em>O<\/em>(<em>n<\/em>!)\u00a0\u2013 katastrophal ineffizient f\u00fcr gro\u00dfe\u00a0<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Testdaten-Generierung<\/strong>: Fakult\u00e4ten helfen abzusch\u00e4tzen, wie viele Testf\u00e4lle bei Permutationstests entstehen.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Kryptographie<\/strong>: Die Anzahl m\u00f6glicher Tastenreihenfolgen oder Passw\u00f6rter folgt fakult\u00e4ts\u00e4hnlichen Gesetzen.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">2.5 Elektrotechnik und Signalverarbeitung (Beispiele)<\/h4>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Schaltnetze<\/strong>: Die Anzahl m\u00f6glicher Zuordnungen von Eing\u00e4ngen zu Ausg\u00e4ngen in einem Multiplexer oder einer Permutationsmatrix.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Codierungstheorie<\/strong>: Bei der Auswertung von Fehlerkorrekturcodes spielen Kombinationsm\u00f6glichkeiten eine Rolle.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Messdatenerfassung<\/strong>: Reihenfolgen von Pr\u00fcfschritten lassen sich mit Fakult\u00e4ten absch\u00e4tzen.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">3. Der Sprung vom Prinzip zur eigenen Berechnung<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Du musst kein Mathematik-Genie sein, um Fakult\u00e4ten zu berechnen. Die rekursive Definition eignet sich hervorragend f\u00fcr die Programmierung:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Rekursiv:\u00a0<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mi>n<\/mi><mo>\u00d7<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo>\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>!=<em>n<\/em>\u00d7(<em>n<\/em>\u22121)!\u00a0mit\u00a0<math><semantics><mrow><mn>0<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>0!=1<\/li>\n\n\n\n<li>Iterativ (Schleife): Multipliziere einfach alle Zahlen von 1 bis\u00a0<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Herausforderung ist nicht die Idee, sondern die&nbsp;<strong>Gr\u00f6\u00dfe der Zahlen<\/strong>. Schon&nbsp;<code>20!<\/code>&nbsp;passt in einen 64-Bit-Integer (<code>long long<\/code>&nbsp;in C++ oder&nbsp;<code>int64<\/code>), aber&nbsp;<code>21!<\/code>&nbsp;nicht mehr. F\u00fcr gr\u00f6\u00dfere&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>&nbsp;brauchst du&nbsp;<strong>beliebig genaue Arithmetik<\/strong>&nbsp;(Big Integers).<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">3.1 Warum Big Integers?<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Normale Datentypen in Programmiersprachen haben feste Grenzen:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">Datentyp<\/th><th class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">Maximaler Wert (ungef\u00e4hr)<\/th><th class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">Maximale n f\u00fcr n!<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>32-Bit int (vorzeichenlos)<\/td><td>4,29 \u00d7 10\u2079<\/td><td>12<\/td><\/tr><tr><td>64-Bit int<\/td><td>9,22 \u00d7 10\u00b9\u2078<\/td><td>20<\/td><\/tr><tr><td>64-Bit double (Gleitkomma)<\/td><td>1,79 \u00d7 10\u00b3\u2070\u2078<\/td><td>ca. 170 (ungenau)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">F\u00fcr&nbsp;<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo>=<\/mo><mn>100<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>=100&nbsp;mit 158 Stellen ben\u00f6tigst du also eine Bibliothek f\u00fcr gro\u00dfe Zahlen. Python bietet das nativ (<code>int<\/code>&nbsp;ist beliebig gro\u00df). In anderen Sprachen wie C++ nutzt man GMP oder Boost.Multiprecision.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">4. Dein eigenes Programm: Schritt-f\u00fcr-Schritt-Anleitung<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ich zeige dir jetzt, wie du mit&nbsp;<strong>Python<\/strong>&nbsp;(das auf jedem Betriebssystem l\u00e4uft und einfach zu installieren ist) eine vollst\u00e4ndige Tabelle der Fakult\u00e4ten von 1 bis 100 erstellst und als CSV speicherst.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">4.1 Was du brauchst<\/h4>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Python 3.x installiert (Download von\u00a0<a href=\"https:\/\/python.org\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">python.org<\/a>)<\/li>\n\n\n\n<li>Einen Texteditor (z.\u202fB. Notepad++, VS Code, oder einfach den integrierten IDLE)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">4.2 Das vollst\u00e4ndige Skript<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Erstelle eine neue Datei, z.\u202fB.&nbsp;<code>fakultaeten.py<\/code>, mit folgendem Inhalt:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">python<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">import math\nimport csv\n\n<em># Liste der Fakult\u00e4ten von 1 bis 100 berechnen<\/em>\nprint(\"Berechne Fakult\u00e4ten von 1 bis 100 ...\")\n\n<em># CSV-Datei schreiben<\/em>\nwith open('fakultaeten.csv', 'w', newline='', encoding='utf-8') as csvfile:\n    writer = csv.writer(csvfile)\n    writer.writerow(['n', 'n!'])  <em># Kopfzeile<\/em>\n    \n    for n in range(1, 101):\n        f = math.factorial(n)  <em># nutzt Pythons Big-Integer-F\u00e4higkeiten<\/em>\n        writer.writerow([n, f])\n        print(f\"{n}! berechnet (hat {len(str(f))} Stellen)\")\n\nprint(\"\\nFertig! Die Datei 'fakultaeten.csv' wurde erstellt.\")<\/pre>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">4.3 Ausf\u00fchrung<\/h4>\n\n\n\n<ol start=\"1\" class=\"wp-block-list\">\n<li>Speichere die Datei.<\/li>\n\n\n\n<li>\u00d6ffne ein Terminal \/ eine Eingabeaufforderung im selben Ordner.<\/li>\n\n\n\n<li>F\u00fchre aus:\u00a0<code>python fakultaeten.py<\/code><\/li>\n\n\n\n<li>Nach wenigen Sekunden hast du die CSV-Datei.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">4.4 Die CSV-Datei verwenden<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die CSV (Comma-Separated Values) kannst du \u00f6ffnen mit:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Excel \/ LibreOffice Calc<\/strong>\u00a0(Daten \u2192 Text in Spalten, Trennzeichen Komma)<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Texteditor<\/strong>\u00a0(dann siehst du die riesigen Zahlen ungek\u00fcrzt)<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Python<\/strong>\u00a0selbst zum Weiterverarbeiten, z.\u202fB.:<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">python<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">import csv\nwith open('fakultaeten.csv') as f:\n    for row in csv.reader(f):\n        print(row)<\/pre>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">4.5 Variante f\u00fcr reine Textausgabe (keine CSV)<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wenn du nur die Liste sehen willst, geht es ganz kurz:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">python<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">import math\nfor n in range(1, 101):\n    print(f\"{n}! = {math.factorial(n)}\")<\/pre>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">5. Was du bei der Programmierung beachten solltest \u2013 Fallstricke und L\u00f6sungen<\/h3>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">Problem<\/th><th class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">L\u00f6sung<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Ganzzahl-\u00dcberlauf in C\/C++\/Java<\/td><td>Verwende Big-Integer-Bibliotheken oder wechsle zu Python<\/td><\/tr><tr><td>Zu langsame Berechnung durch naive Rekursion<\/td><td>Verwende Iteration (Schleife) oder Memoisation<\/td><\/tr><tr><td>Unlesbare Ausgabe wegen riesiger Zahlen<\/td><td>Speichere als CSV, nicht nur auf Konsole<\/td><\/tr><tr><td>Excel k\u00fcrzt gro\u00dfe Zahlen (wissenschaftliche Notation)<\/td><td>In Excel: Zellen als Text formatieren vor dem Import; oder CSV mit Texteditor ansehen<\/td><\/tr><tr><td>Speicherplatz<\/td><td>100! als Text ist etwa 158 Zeichen plus Kommata \u2013 vernachl\u00e4ssigbar (ca. 20 KB f\u00fcr ganze Tabelle)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">6. Weiterf\u00fchrende Ideen \u2013 was du noch bauen kannst<\/h3>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Summe der Fakult\u00e4ten<\/strong>: Berechne\u00a0<math><semantics><mrow><mn>1<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>+<\/mo><mn>2<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><mo>+<\/mo><mo>\u22ef<\/mo><mo>+<\/mo><mn>100<\/mn><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>1!+2!+\u22ef+100!<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Fakult\u00e4ten modulo einer Zahl<\/strong>\u00a0(wichtig in der Kryptographie):\u00a0<code>math.factorial(n) % m<\/code><\/li>\n\n\n\n<li><strong>Rekursive Version zum Verst\u00e4ndnis<\/strong>\u00a0(nicht f\u00fcr gro\u00dfe n):pythondef fak(n): return 1 if n == 0 else n * fak(n-1)<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Grafische Darstellung<\/strong>\u00a0(z.\u202fB. logarithmische Skala) mit Matplotlib<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Vergleich mit Exponentialfunktion<\/strong>: Zeichne\u00a0<math><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\">!<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em>!\u00a0vs.\u00a0<math><semantics><mrow><msup><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/msup><\/mrow><\/semantics><\/math>2<em>n<\/em>\u00a0vs.\u00a0<math><semantics><mrow><msup><mi>n<\/mi><mi>n<\/mi><\/msup><\/mrow><\/semantics><\/math><em>n<\/em><em>n<\/em>\u00a0(semilog-Plot)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Fazit und Ausblick<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Fakult\u00e4t ist ein Paradebeispiel daf\u00fcr, wie aus einer scheinbar harmlosen Multiplikation unvorstellbare Gr\u00f6\u00dfen entstehen. Genau diese Eigenschaft macht sie zum unverzichtbaren Werkzeug, wenn es um das Z\u00e4hlen von M\u00f6glichkeiten, das Absch\u00e4tzen von Aufw\u00e4nden oder das Verstehen von Wahrscheinlichkeiten geht.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Du hast nicht nur gelernt, was Fakult\u00e4ten sind und wo sie vorkommen \u2013 du kannst sie jetzt auch selbst berechnen, strukturiert in einer CSV-Datei ablegen und f\u00fcr eigene Projekte nutzen. Der Schritt vom mathematischen Prinzip zum laufenden Programm ist oft kleiner, als man denkt.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ausblick<\/strong>: In der h\u00f6heren Mathematik wird die Fakult\u00e4t durch die&nbsp;<strong>Gammafunktion<\/strong>&nbsp;<math><semantics><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0393<\/mi><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>\u0393(<em>z<\/em>)&nbsp;auf reelle und komplexe Zahlen verallgemeinert. F\u00fcr halbzahlige Werte ergeben sich interessante Beziehungen (z.\u202fB.&nbsp;<math><semantics><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0393<\/mi><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">\/<\/mi><mn>2<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>=<\/mo><msqrt><mi>\u03c0<\/mi><\/msqrt><\/mrow><\/semantics><\/math>\u0393(1\/2)=<em>\u03c0<\/em>\u200b). Auch in der Signalverarbeitung (z.\u202fB. Fensterfunktionen) und in der Wahrscheinlichkeitstheorie (z.\u202fB. Chi-Quadrat-Verteilung) taucht sie immer wieder auf.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wer die Fakult\u00e4t verstanden hat, hat ein fundamentales Werkzeug der angewandten Mathematik erworben \u2013 und zugleich eine Ahnung davon bekommen, wie schnell Komplexit\u00e4t wachsen kann.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Autor: DerSchneider Einleitung Was haben die Anordnung von Spielkarten, die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns und die Anzahl m\u00f6glicher Passw\u00f6rter gemeinsam? Sie alle lassen sich mit einer der einfachsten, aber gleichzeitig am schnellsten wachsenden Funktionen der Mathematik beschreiben: der&nbsp;Fakult\u00e4t. Kaum eine andere Operation f\u00fchrt derart rasch in astronomische Dimensionen. W\u00e4hrend&nbsp;10!&nbsp;noch gut handliche 3,6 Millionen betr\u00e4gt, sprengt&nbsp;100!&nbsp;jede Vorstellungskraft [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[40,18],"tags":[921,1321,2334,3826,5630,7545,7551],"class_list":["post-4982","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-denkwerkzeuge","category-im-kopf-methoden-werkzeuge","tag-big-integers","tag-csv-export","tag-fakultat","tag-kombinatorik","tag-python-programmierung","tag-wachstum-von-funktionen","tag-wahrscheinlichkeitsrechnung"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4982","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4982"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4982\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4982"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4982"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/technodidact.de\/en\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4982"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}