{"id":7813,"date":"2026-10-30T06:39:06","date_gmt":"2026-10-30T06:39:06","guid":{"rendered":"https:\/\/technodidact.de\/?p=7813"},"modified":"2026-10-30T06:39:06","modified_gmt":"2026-10-30T06:39:06","slug":"einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-2-strategien-auszahlungen-und-die-kunst-der-darstellung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technodidact.de\/en\/einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-2-strategien-auszahlungen-und-die-kunst-der-darstellung\/","title":{"rendered":"Einf\u00fchrung in die Spieltheorie (Teil 2): Strategien, Auszahlungen und die Kunst der Darstellung"},"content":{"rendered":"

Von DerSchneider<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Einstieg: Die Verabredung, die schiefgeht<\/h2>\n\n\n\n

Zwei Freunde wollen sich in einer fremden Stadt treffen. Sie haben vereinbart, \u201eam Hauptbahnhof“ zu warten. Doch der Hauptbahnhof hat zwei Ausg\u00e4nge: Nord und S\u00fcd. Beide m\u00fcssen gleichzeitig entscheiden, welchen Ausgang sie w\u00e4hlen. Wenn sie am selben Ausgang warten, treffen sie sich und verbringen einen sch\u00f6nen Abend (Auszahlung: 10 f\u00fcr beide). Wenn sie an verschiedenen Ausg\u00e4ngen warten, verbringen sie den Abend allein (Auszahlung: 0 f\u00fcr beide).<\/p>\n\n\n\n

Was ist hier die \u201erichtige“ Entscheidung? Die Antwort h\u00e4ngt davon ab, was der andere tut. Und genau das macht die Situation zu einem Spiel im spieltheoretischen Sinne. Teil 1 dieser Serie hat gezeigt, was ein Spiel ist und warum das Gefangenendilemma zum Paradigma wurde. Teil 2 vertieft nun die formale Darstellung: Wie beschreibt man ein Spiel so, dass man es analysieren kann? Und welche Darstellungsformen gibt es \u2013 und wann verwendet man welche?<\/p>\n\n\n\n

Die Normalform: Das Spiel als Matrix<\/h2>\n\n\n\n

Die Normalform<\/strong> (auch strategische Form) ist die kompakteste Darstellung eines Spiels. Sie listet f\u00fcr jeden Spieler seine reinen Strategien auf und ordnet jeder Kombination von Strategien die resultierenden Auszahlungen zu .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Formal besteht ein Spiel in Normalform aus drei Elementen: der Menge der Spieler N<\/mi>=<\/mo>{<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>\u2026<\/mo>,<\/mo>n<\/mi>}<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>N<\/em>={1,\u2026,n<\/em>}, der Strategiemenge jedes Spielers S<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>S<\/em>i<\/em>\u200b und der Auszahlungsfunktion u<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>u<\/em>i<\/em>\u200b, die jeder Strategiekombination s<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>s<\/mi>1<\/mn><\/msub>,<\/mo>\u2026<\/mo>,<\/mo>s<\/mi>n<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>s<\/em>=(s<\/em>1\u200b,\u2026,s<\/em>n<\/em>\u200b) einen Nutzenwert f\u00fcr Spieler i<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>i<\/em> zuordnet .<\/a><\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr das Verabredungsspiel mit zwei Spielern und je zwei Strategien (\u201eNord“, \u201eS\u00fcd“) ergibt sich folgende Matrix:<\/p>\n\n\n\n

<\/th>Freund B: Nord<\/th>Freund B: S\u00fcd<\/th><\/tr><\/thead>
Freund A: Nord<\/strong><\/td>(10, 10)<\/td>(0, 0)<\/td><\/tr>
Freund A: S\u00fcd<\/strong><\/td>(0, 0)<\/td>(10, 10)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Die Matrix macht auf einen Blick sichtbar, was die Situation ausmacht: Es gibt zwei Kombinationen, die beide Spieler besser stellen als die beiden anderen \u2013 (Nord, Nord) und (S\u00fcd, S\u00fcd). Die Spieler m\u00fcssen \u201ekoordinieren“, aber es gibt kein eindeutiges Gleichgewicht. Dies ist ein Koordinationsspiel<\/strong>, und es unterscheidet sich strukturell vom Gefangenendilemma, in dem eine dominante Strategie das Ergebnis eindeutig bestimmt.<\/p>\n\n\n\n

Die Normalform eignet sich besonders f\u00fcr Spiele, in denen die Spieler gleichzeitig<\/strong> entscheiden oder in denen die zeitliche Abfolge f\u00fcr das Ergebnis keine Rolle spielt. Sie \u201eunterdr\u00fcckt alle dynamischen Aspekte des Entscheidungsproblems“ . Wer nur an den stabilen Endzust\u00e4nden interessiert ist, nicht am Weg dorthin, ist mit der Normalform gut bedient.<\/a><\/p>\n\n\n\n

Die Extensivform: Das Spiel als Baum<\/h2>\n\n\n\n

Sobald die zeitliche Abfolge von Entscheidungen relevant wird \u2013 wenn ein Spieler handelt, der andere darauf reagiert, und dieser wiederum darauf \u2013, st\u00f6\u00dft die Normalform an ihre Grenzen. Hier kommt die Extensivform<\/strong> ins Spiel, die das Spiel als Spielbaum<\/strong> darstellt .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ein Spielbaum besteht aus Knoten (Entscheidungspunkten) und Kanten (Z\u00fcgen). Die Wurzel ist der Anfang des Spiels. Von jedem Entscheidungsknoten gehen Kanten zu den m\u00f6glichen Z\u00fcgen des Spielers, der dort am Zug ist. Die Endknoten (Bl\u00e4tter) tragen die Auszahlungen f\u00fcr alle Spieler. Zus\u00e4tzlich gibt es Informationsmengen<\/strong>: Knoten, die ein Spieler nicht voneinander unterscheiden kann, werden zusammengefasst .<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n

Ein einfaches Beispiel: Stellen Sie sich ein Ultimatumspiel vor. Spieler A erh\u00e4lt 10 Euro und muss entscheiden, wie viel er an Spieler B abgibt \u2013 sagen wir, 0 oder 5 Euro. Spieler B kann das Angebot annehmen oder ablehnen. Bei Ablehnung erhalten beide nichts.<\/p>\n\n\n\n

Der Spielbaum:<\/p>\n\n\n\n

text<\/p>\n\n\n\n

        A\n       \/ \\\n     (0) (5)\n     \/     \\\n    B       B\n   \/ \\     \/ \\\n  A   R   A   R\n(0,0)(10,0)(5,5)(0,0)<\/pre>\n\n\n\n
(A = Annehmen, R = Ablehnen; Auszahlungen: (A, B))<\/p>\n\n\n\n
Die Extensivform zeigt explizit, wer wann welche Information hat<\/strong> und in welcher Reihenfolge<\/strong> entschieden wird. Sie ist die nat\u00fcrliche Darstellung f\u00fcr dynamische Spiele, f\u00fcr Verhandlungen, f\u00fcr Spiele mit sequenziellen Z\u00fcgen . Die Kehrseite: Spielb\u00e4ume werden schnell un\u00fcbersichtlich. Ein Schachspiel hat mehr m\u00f6gliche Verl\u00e4ufe als Atome im beobachtbaren Universum \u2013 als Baum ist es nicht darstellbar.<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n
Vom Baum zur Matrix: Die \u00c4quivalenz der Darstellungen<\/h2>\n\n\n\n
Ein wichtiger Punkt, der oft \u00fcbersehen wird: Jedes Spiel in Extensivform l\u00e4sst sich prinzipiell<\/strong> in eine Normalform \u00fcbersetzen. Man muss nur f\u00fcr jeden Spieler alle m\u00f6glichen vollst\u00e4ndigen Strategien auflisten \u2013 also Pl\u00e4ne, die f\u00fcr jeden Entscheidungsknoten festlegen, was zu tun ist. Die Auszahlungen der Normalform sind dann die erwarteten Auszahlungen<\/strong> \u00fcber alle m\u00f6glichen Spielverl\u00e4ufe, die sich aus der Strategiekombination ergeben .<\/a><\/p>\n\n\n\n
Diese \u00c4quivalenz ist theoretisch bedeutsam: Sie zeigt, dass die Normalform der allgemeinere Rahmen ist. Praktisch ist sie oft wenig hilfreich, weil die Anzahl der reinen Strategien in der Normalform exponentiell mit der Tiefe des Spielbaums w\u00e4chst. Ein Spiel mit zehn Z\u00fcgen und je zwei Optionen hat 2<\/mn>10<\/mn><\/msup>=<\/mo>1024<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>210=1024 reine Strategien pro Spieler \u2013 als Matrix unhandlich, als Baum \u00fcberschaubar.<\/p>\n\n\n\n
Die Wahl der Darstellung ist daher keine Geschmacksfrage, sondern eine Frage der Zweckm\u00e4\u00dfigkeit<\/strong>. F\u00fcr die Analyse von Gleichgewichten in statischen Spielen: Normalform. F\u00fcr die Analyse von sequenziellen Entscheidungen und Informationsproblemen: Extensivform.<\/p>\n\n\n\n
Reine und gemischte Strategien: Eine erste Unterscheidung<\/h2>\n\n\n\n
Teil 1 hat den Strategiebegriff eingef\u00fchrt: eine vollst\u00e4ndige Handlungsanweisung f\u00fcr alle denkbaren Situationen. Nun ist eine Verfeinerung n\u00f6tig, die f\u00fcr alles Weitere zentral ist.<\/p>\n\n\n\n
Eine reine Strategie<\/strong> legt fest, welche Aktion ein Spieler in jeder m\u00f6glichen Situation w\u00e4hlt \u2013 ohne Zufall, ohne Abweichung. \u201eImmer Nord“ ist eine reine Strategie im Verabredungsspiel. \u201eImmer gestehen“ ist eine reine Strategie im Gefangenendilemma.<\/p>\n\n\n\n
Eine gemischte Strategie<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung \u00fcber den reinen Strategien. Statt \u201eimmer Nord“ w\u00e4hlt der Spieler \u201eNord mit Wahrscheinlichkeit p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em> und S\u00fcd mit Wahrscheinlichkeit 1<\/mn>\u2212<\/mo>p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>1\u2212p<\/em>„. Gemischte Strategien sind nicht dasselbe wie \u201eUnsicherheit \u00fcber das Verhalten des anderen“ \u2013 sie sind eine bewusste Randomisierung durch den Spieler selbst.<\/p>\n\n\n\n
Warum sollte jemand freiwillig randomisieren? Die Antwort ist nicht offensichtlich und wird in Teil 4 ausf\u00fchrlich behandelt. F\u00fcr den Moment gen\u00fcgt die Feststellung: In Spielen wie Schere-Stein-Papier gibt es kein Gleichgewicht in reinen Strategien<\/strong> \u2013 jede feste Wahl kann vom Gegner ausgebeutet werden. Erst die Randomisierung schafft eine stabile Situation. Die gemischte Strategie ist daher keine Verlegenheitsl\u00f6sung, sondern in bestimmten Spielen die einzige rationale Wahl.<\/p>\n\n\n\n
Das Verabredungsspiel: Koordination ohne Kommunikation<\/h2>\n\n\n\n
Kehren wir zum Einstieg zur\u00fcck. Das Verabredungsspiel ist lehrreich, weil es zeigt, dass Spiele nicht immer Konflikte sind. Manchmal haben die Spieler gemeinsame Interessen<\/strong> \u2013 beide wollen sich treffen \u2013, aber es fehlt die M\u00f6glichkeit, sich abzustimmen.<\/p>\n\n\n\n
In der Matrix gibt es zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (Nord, Nord) und (S\u00fcd, S\u00fcd). Keiner kann sich durch einseitige Abweichung verbessern, wenn beide am selben Ort sind. Aber welches ist das \u201erichtige“? Die Spieltheorie allein kann diese Frage nicht beantworten. Sie sagt nur: Beide sind stabil. Die Auswahl h\u00e4ngt von Faktoren ab, die au\u00dferhalb des formalen Modells liegen \u2013 von Konventionen, von Signalen, von der \u201eProminenz“ eines Ortes (Schelling-Punkt).<\/p>\n\n\n\n
Dies ist eine wichtige Lektion: Die Spieltheorie liefert nicht immer eine eindeutige Antwort.<\/strong> Sie liefert eine Menge von Gleichgewichten, und die Auswahl unter ihnen ist oft eine Frage der Interpretation, der empirischen Beobachtung oder der institutionellen Gestaltung. Wer erwartet, dass die Spieltheorie \u201edie L\u00f6sung“ eines Problems ausspuckt, wird entt\u00e4uscht. Wer versteht, dass sie den Raum der M\u00f6glichkeiten<\/strong> strukturiert, gewinnt.<\/p>\n\n\n\n
Anwendung: Ein Oligopol als Spiel<\/h2>\n\n\n\n
Betrachten wir ein wirtschaftliches Beispiel, das die N\u00fctzlichkeit der Normalform zeigt. Zwei Firmen konkurrieren auf einem Markt. Jede kann einen hohen oder einen niedrigen Preis w\u00e4hlen. Die Gewinne (in Millionen) seien:<\/p>\n\n\n\n
<\/th>Firma B: hoher Preis<\/th>Firma B: niedriger Preis<\/th><\/tr><\/thead>
Firma A: hoher Preis<\/strong><\/td>(10, 10)<\/td>(2, 15)<\/td><\/tr>
Firma A: niedriger Preis<\/strong><\/td>(15, 2)<\/td>(5, 5)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
Was ist hier die Logik? Wenn A einen hohen Preis w\u00e4hlt, ist es f\u00fcr B besser, einen niedrigen zu w\u00e4hlen (15 statt 10). Wenn A einen niedrigen Preis w\u00e4hlt, ist es f\u00fcr B ebenfalls besser, einen niedrigen zu w\u00e4hlen (5 statt 2). \u201eNiedriger Preis“ ist also f\u00fcr B eine dominante Strategie. F\u00fcr A gilt dasselbe. Das Ergebnis: Beide w\u00e4hlen einen niedrigen Preis, beide erhalten 5 \u2013 obwohl beide mit hohen Preisen 10 erhalten k\u00f6nnten.<\/p>\n\n\n\n
Dies ist das Gefangenendilemma in Oligopolform<\/strong>. Der Wettbewerb zwingt die Firmen zu einem Verhalten, das ihre gemeinsamen Gewinne schm\u00e4lert. Die Matrix macht die Struktur sichtbar; die Analyse zeigt, warum Kooperation (hohe Preise) nicht stabil ist, solange keine bindenden Absprachen m\u00f6glich sind.<\/p>\n\n\n\n
Die Grenzen der formalen Darstellung<\/h2>\n\n\n\n
Zwei Einschr\u00e4nkungen verdienen Beachtung. Erstens:<\/strong> Die Normalform unterstellt, dass die Spieler die Auszahlungen aller Beteiligten kennen \u2013 oder zumindest, dass diese \u201eobjektiv“ feststehen. In vielen realen Situationen sind die Pr\u00e4ferenzen des Gegen\u00fcbers jedoch unbekannt oder ver\u00e4nderlich. Spiele mit unvollst\u00e4ndiger Information<\/strong> (Teil 7) erfordern eine andere Darstellung, die sogenannte Bayessche Form.<\/p>\n\n\n\n
Zweitens:<\/strong> Beide Darstellungen gehen von vollst\u00e4ndiger Rationalit\u00e4t<\/strong> aus \u2013 die Spieler maximieren ihren Nutzen, kennen die Regeln und ziehen die Konsequenzen korrekt. Die evolution\u00e4re Spieltheorie (Teil 8) lockert diese Annahme und fragt, welche Verhaltensmuster sich durchsetzen, wenn die Akteure nicht rational kalkulieren, sondern einfach diejenigen sind, die \u00fcberleben.<\/p>\n\n\n\n
Zusammenfassung und Ausblick<\/h2>\n\n\n\n
Teil 2 hat das Handwerkszeug geliefert, um Spiele pr\u00e4zise zu beschreiben. Die Normalform<\/strong> (Matrix) eignet sich f\u00fcr statische Spiele und Gleichgewichtsanalysen; die Extensivform<\/strong> (Spielbaum) f\u00fcr sequenzielle Entscheidungen und Informationsprobleme. Beide sind \u00e4quivalent, aber unterschiedlich zweckm\u00e4\u00dfig. Der Unterschied zwischen reinen<\/strong> und gemischten<\/strong> Strategien wurde eingef\u00fchrt und als grundlegend f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis von Gleichgewichten markiert.<\/p>\n\n\n\n
Teil 3 wird das zentrale L\u00f6sungskonzept der Spieltheorie behandeln: das Nash-Gleichgewicht<\/strong>. Was genau ist ein Nash-Gleichgewicht? Warum ist es ein sinnvolles Kriterium f\u00fcr Stabilit\u00e4t? Und wo st\u00f6\u00dft es an seine Grenzen? Das Gefangenendilemma aus Teil 1 und das Koordinationsspiel aus Teil 2 werden dabei als Referenzpunkte wiederkehren.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Quellen<\/strong><\/p>\n\n\n\n