{"id":7815,"date":"2026-10-30T06:40:09","date_gmt":"2026-10-30T06:40:09","guid":{"rendered":"https:\/\/technodidact.de\/?p=7815"},"modified":"2026-10-30T06:40:09","modified_gmt":"2026-10-30T06:40:09","slug":"einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-3-das-nash-gleichgewicht-stabilitaet-als-loesungskonzept","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technodidact.de\/en\/einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-3-das-nash-gleichgewicht-stabilitaet-als-loesungskonzept\/","title":{"rendered":"Einf\u00fchrung in die Spieltheorie (Teil 3): Das Nash-Gleichgewicht \u2013 Stabilit\u00e4t als L\u00f6sungskonzept"},"content":{"rendered":"

Von DerSchneider<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Einstieg: Warum \u201eeinfach nachgeben“ keine L\u00f6sung ist<\/h2>\n\n\n\n

Zwei Fahrer rasen auf einer schmalen Stra\u00dfe aufeinander zu. Wer zuerst ausweicht, verliert \u2013 er ist der \u201eAngsthasen“, der Feigling. Weichen beide aus, haben beide verloren, aber \u00fcberlebt. Weicht keiner aus, kommt es zum Crash \u2013 die Katastrophe f\u00fcr beide. Dieses Szenario, bekannt als Chicken Game<\/strong> oder Angsthasenspiel<\/strong>, hat eine merkw\u00fcrdige Struktur: Es gibt keine Strategie, die f\u00fcr beide Spieler unabh\u00e4ngig von der Wahl des anderen optimal ist. Weicht A aus, ist es f\u00fcr B am besten, nicht auszuweichen. Weicht A nicht aus, ist es f\u00fcr B am besten, auszuweichen .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Was also ist die \u201eL\u00f6sung“ dieses Spiels? Die Spieltheorie gibt eine Antwort, die zun\u00e4chst ern\u00fcchternd klingt: Es gibt zwei<\/strong> stabile Ergebnisse \u2013 (A weicht aus, B weicht nicht aus) und (A weicht nicht aus, B weicht aus). In beiden F\u00e4llen kann keiner der Spieler durch einseitiges Abweichen seine Situation verbessern. Wenn A ausweicht und B nicht, hat A keinen Anreiz, doch nicht auszuweichen (dann g\u00e4be es einen Crash), und B hat keinen Anreiz, doch auszuweichen (dann h\u00e4tte er verloren). Diese Stabilit\u00e4t ist es, die das Nash-Gleichgewicht<\/strong> definiert.<\/p>\n\n\n\n

Teil 2 hat gezeigt, wie man Spiele formal darstellt. Teil 3 f\u00fchrt nun das zentrale L\u00f6sungskonzept der nichtkooperativen Spieltheorie ein: das Nash-Gleichgewicht. Was genau ist ein Nash-Gleichgewicht? Warum ist es ein sinnvolles Kriterium? Und wo st\u00f6\u00dft es an seine Grenzen?<\/p>\n\n\n\n

Die Definition: Stabilit\u00e4t als Kriterium<\/h2>\n\n\n\n

Formal ist ein Nash-Gleichgewicht eine Strategiekombination s<\/mi>\u2217<\/mo><\/msup>=<\/mo>(<\/mo>s<\/mi>1<\/mn>\u2217<\/mo><\/msubsup>,<\/mo>\u2026<\/mo>,<\/mo>s<\/mi>n<\/mi>\u2217<\/mo><\/msubsup>)<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>s<\/em>\u2217=(s<\/em>1\u2217\u200b,\u2026,s<\/em>n<\/em>\u2217\u200b), bei der f\u00fcr jeden Spieler i<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>i<\/em> gilt: Die gew\u00e4hlte Strategie s<\/mi>i<\/mi>\u2217<\/mo><\/msubsup><\/mrow><\/semantics><\/math>s<\/em>i<\/em>\u2217\u200b ist mindestens so gut wie jede andere verf\u00fcgbare Strategie s<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>s<\/em>i<\/em>\u200b, gegeben<\/strong> die Strategien der anderen Spieler s<\/mi>\u2212<\/mo>i<\/mi><\/mrow>\u2217<\/mo><\/msubsup><\/mrow><\/semantics><\/math>s<\/em>\u2212i<\/em>\u2217\u200b .<\/a><\/p>\n\n\n\n

In Worten: Kein Spieler kann sich durch einen einseitigen<\/strong> Wechsel seiner Strategie besser stellen. Das Gleichgewicht ist stabil gegen individuelle Abweichung. Wichtig ist die Betonung auf \u201eeinseitig“: Es geht nicht darum, ob alle gemeinsam<\/strong> ein besseres Ergebnis erreichen k\u00f6nnten \u2013 das ist im Gefangenendilemma ja gerade der Fall \u2013, sondern darum, ob ein Einzelner<\/strong> einen Anreiz hat, auszuscheren.<\/p>\n\n\n\n

Diese Definition hat eine unmittelbare Konsequenz: Jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien ist auch ein Nash-Gleichgewicht . Wenn eine Strategie unabh\u00e4ngig von den anderen optimal ist, dann erst recht gegeben eine bestimmte Kombination der anderen. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Nash-Gleichgewicht kann auf Strategien beruhen, die nicht<\/strong> dominant sind \u2013 wie im Chicken Game, wo \u201enicht ausweichen“ nur dann optimal ist, wenn der andere ausweicht.<\/a><\/p>\n\n\n\n

Das Gefangenendilemma: Nash-Gleichgewicht trotz kollektiver Irrationalit\u00e4t<\/h2>\n\n\n\n

Kehren wir zum Leitbeispiel aus Teil 1 zur\u00fcck. Im Gefangenendilemma ist \u201egestehen“ f\u00fcr beide Spieler eine dominante Strategie. Das Nash-Gleichgewicht lautet (gestehen, gestehen), mit der Auszahlung (\u22126, \u22126). Beide w\u00e4ren mit (\u22121, \u22121) besser dran, wenn sie schwiegen \u2013 aber Schweigen ist nicht stabil. G\u00e4be B zu, h\u00e4tte A keinen Anreiz, bei Schweigen zu bleiben. Das Gleichgewicht ist pareto-inferior<\/strong>: Es gibt eine andere Kombination, die beide besser stellt, aber nicht erreicht wird, weil jeder Einzelne einen Anreiz hat, abzuweichen .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Dies ist der Kern des Dilemmas: Das Nash-Gleichgewicht beschreibt einen Zustand, aus dem niemand allein<\/strong> ausbrechen kann, auch wenn alle gemeinsam<\/strong> besser dran w\u00e4ren. Die Stabilit\u00e4t des Gleichgewichts ist also keine Garantie f\u00fcr kollektive Rationalit\u00e4t \u2013 sie ist lediglich eine Aussage \u00fcber individuelle Anreize.<\/p>\n\n\n\n

Das Hirschjagd-Spiel: Wenn Kooperation stabil ist<\/h2>\n\n\n\n

Das Gefangenendilemma ist nicht die einzige Struktur, in der Nash-Gleichgewichte eine Rolle spielen. Das Hirschjagd-Spiel<\/strong> (Hirschjagd) zeigt einen anderen Fall. Zwei J\u00e4ger k\u00f6nnen gemeinsam einen Hirsch erlegen (hohe Auszahlung f\u00fcr beide: 5, 5) oder jeder f\u00fcr sich einen Hasen jagen (niedrige, aber sichere Auszahlung: 2, 2). Wenn einer Hirsch jagt und der andere Hase, geht der Hirschj\u00e4ger leer aus (0), w\u00e4hrend der Hasenj\u00e4ger seinen Hasen erlegt (4) .<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n

Die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien sind (Hirsch, Hirsch) und (Hase, Hase). Beide sind stabil: Wenn beide Hirsch jagen, hat keiner einen Anreiz, allein auf Hasenjagd umzusteigen (dann g\u00e4be es keinen Hirsch, und der Abweichler h\u00e4tte nur den Hasen, also 2 statt 5). Wenn beide Hase jagen, hat keiner einen Anreiz, allein auf Hirschjagd umzusteigen (dann ginge er leer aus, 0 statt 2).<\/p>\n\n\n\n

Das Hirschjagd-Spiel ist lehrreich, weil es zeigt, dass Kooperation stabil sein kann<\/strong> \u2013 anders als im Gefangenendilemma. Der Unterschied liegt in der Struktur der Auszahlungen: Kooperation ist hier riskant, aber wenn sie gelingt, wird sie belohnt. Das Problem ist nicht die Instabilit\u00e4t der Kooperation, sondern die Unsicherheit<\/strong> dar\u00fcber, ob der andere kooperiert. Wenn ich nicht wei\u00df, ob der andere Hirsch jagt, ist Hase die sichere Wahl. Kooperation erfordert Vertrauen oder Koordination \u2013 und genau das macht das Spiel zu einem Koordinationsspiel<\/strong> mit Kooperationsoption .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Die Existenz des Gleichgewichts: Nashs Satz<\/h2>\n\n\n\n

Eine Frage, die sich unmittelbar stellt: Hat jedes<\/strong> Spiel ein Nash-Gleichgewicht? Die Antwort ist nein \u2013 zumindest nicht in reinen Strategien. Schere-Stein-Papier hat kein Gleichgewicht in reinen Strategien: Jede feste Wahl kann vom Gegner ausgebeutet werden. Wenn ich immer Schere spiele, w\u00e4hlt der andere Stein und gewinnt. Es gibt keine Kombination reiner Strategien, bei der keiner einen Anreiz hat, abzuweichen.<\/p>\n\n\n\n

John Nash bewies jedoch 1950, dass jedes endliche Spiel<\/strong> mindestens ein Nash-Gleichgewicht besitzt, wenn man gemischte Strategien<\/strong> zul\u00e4sst . Gemischte Strategien sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen \u00fcber den reinen Strategien \u2013 im Schere-Stein-Papier-Spiel w\u00e4re die gemischte Strategie (1\/3, 1\/3, 1\/3) ein Gleichgewicht: Wenn der andere mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Option w\u00e4hlt, ist es f\u00fcr mich gleichg\u00fcltig, was ich w\u00e4hle, und umgekehrt. Keiner hat einen Anreiz, die Wahrscheinlichkeiten zu \u00e4ndern .<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n

Dieser Existenzsatz<\/strong> ist einer der wichtigsten Beitr\u00e4ge Nashs zur Spieltheorie. Er garantiert, dass das L\u00f6sungskonzept nicht ins Leere l\u00e4uft: F\u00fcr jede strategische Situation gibt es zumindest eine stabile Kombination \u2013 wenn man bereit ist, Randomisierung zuzulassen. Die Bedeutung gemischter Strategien wird in Teil 4 ausf\u00fchrlich behandelt.<\/p>\n\n\n\n

Die Grenzen des Nash-Gleichgewichts: Multiplizit\u00e4t und Auswahl<\/h2>\n\n\n\n

Das Nash-Gleichgewicht hat eine Eigenschaft, die seine Anwendung in konkreten Situationen erschwert: Es ist oft nicht eindeutig.<\/strong> Das Chicken Game hat zwei Gleichgewichte. Das Hirschjagd-Spiel hat zwei. Das Koordinationsspiel aus Teil 2 (Verabredung am Hauptbahnhof) hat zwei. In solchen F\u00e4llen sagt die Spieltheorie nicht, welches<\/strong> Gleichgewicht erreicht wird \u2013 sie sagt nur, dass eines<\/strong> dieser Zust\u00e4nde stabil ist.<\/p>\n\n\n\n

Hier beginnt die Frage der Gleichgewichtsauswahl<\/strong>. Thomas Schelling hat den Begriff des Fokuspunkts<\/strong> gepr\u00e4gt: In vielen Situationen gibt es Konventionen, Signale oder \u201eprominente“ L\u00f6sungen, die eine der Gleichgewichtsalternativen auszeichnen . Wenn zwei Freunde sich in einer fremden Stadt verabreden wollen und nicht wissen, welchen Ausgang sie w\u00e4hlen sollen, k\u00f6nnte der \u201eHauptausgang“ (der gr\u00f6\u00dfere, bekanntere) zum Fokuspunkt werden \u2013 nicht weil er spieltheoretisch ausgezeichnet ist, sondern weil er kognitiv salient ist.<\/a><\/p>\n\n\n\n

Die Spieltheorie allein kann diese Auswahl nicht leisten. Sie liefert die Menge der stabilen Zust\u00e4nde<\/strong>; welche davon erreicht werden, h\u00e4ngt von Faktoren ab, die au\u00dferhalb des formalen Modells liegen: von Geschichte, Konvention, Kommunikation, Institutionen. Rieck betont in seinem Lehrbuch genau diesen Punkt: Das Nash-Gleichgewicht ist ein Rationalit\u00e4tserfordernis<\/strong> \u2013 aber es ist kein vollst\u00e4ndiges Prognoseinstrument .<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n

Die Risiko-Dominanz: Wenn Stabilit\u00e4t nicht genug ist<\/h2>\n\n\n\n

Ein weiteres Problem der Gleichgewichtsauswahl zeigt sich im Hirschjagd-Spiel. Das Gleichgewicht (Hirsch, Hirsch) ist payoff-dominant<\/strong>: Es gibt beiden Spielern eine h\u00f6here Auszahlung (5 statt 2). Das Gleichgewicht (Hase, Hase) ist risiko-dominant<\/strong>: Es ist weniger riskant, weil die Auszahlung nicht davon abh\u00e4ngt, ob der andere kooperiert .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Welches Gleichgewicht wird gew\u00e4hlt? Die Spieltheorie hat verschiedene Kriterien entwickelt. Das Nash-Produkt<\/strong> berechnet f\u00fcr jedes Gleichgewicht das Produkt der Verluste, die ein Spieler erleidet, wenn er vom Gleichgewicht abweicht und der andere beim Gleichgewicht bleibt. Ein h\u00f6heres Nash-Produkt bedeutet geringeres Risiko. Im Hirschjagd-Beispiel kann (Hase, Hase) risiko-dominant sein, obwohl (Hirsch, Hirsch) payoff-dominant ist .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Harsanyi und Selten argumentieren, dass bei vollst\u00e4ndiger Rationalit\u00e4t und Common Knowledge die Payoff-Dominanz Vorrang haben sollte: Wenn jeder wei\u00df, dass jeder rational ist, und jeder wei\u00df, dass jeder das payoff-dominante Gleichgewicht erkennt, dann werden alle es w\u00e4hlen . Diese Argumentation setzt jedoch eine starke Annahme voraus \u2013 die Common-Knowledge-Annahme<\/strong> der Rationalit\u00e4t. In der Realit\u00e4t ist diese Annahme oft verletzt, und dann kann Risiko-Dominanz entscheidend werden.<\/a><\/p>\n\n\n\n

Die Common-Knowledge-Annahme: Eine unverzichtbare Voraussetzung<\/h2>\n\n\n\n

Das Nash-Gleichgewicht als L\u00f6sungskonzept ruht auf einer Annahme, die oft \u00fcbersehen wird: Common Knowledge<\/strong>. Damit ein Spieler rational eine Gleichgewichtsstrategie w\u00e4hlen kann, muss er nicht nur die Regeln des Spiels kennen, sondern auch wissen, dass die anderen sie kennen, dass die anderen wissen, dass er sie kennt, und so weiter. Zudem muss er wissen, dass alle rational handeln \u2013 und dass alle wissen, dass alle rational handeln .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Diese Annahme ist in experimentellen Spielen oft verletzt. Menschen w\u00e4hlen nicht immer die Gleichgewichtsstrategie, selbst wenn sie sie erkennen. Im Ultimatumspiel etwa w\u00e4re es \u201erational“, jedes noch so niedrige Angebot anzunehmen (ein Euro ist besser als null), aber Menschen lehnen unfaire Angebote oft ab \u2013 und die Anbieter antizipieren das und machen fairere Angebote . Das Nash-Gleichgewicht des Ultimatumspiels (Anbieter bietet das Minimum, Empf\u00e4nger nimmt an) beschreibt eine Welt perfekter Rationalit\u00e4t, die mit der beobachteten Welt nicht \u00fcbereinstimmt.<\/a><\/p>\n\n\n\n

Das ist keine Widerlegung des Konzepts \u2013 es ist eine Erinnerung an seine Anwendungsbedingungen<\/strong>. Das Nash-Gleichgewicht ist ein Modell, kein Abbild der Realit\u00e4t. Es zeigt, was unter bestimmten Annahmen folgt; ob diese Annahmen in einer konkreten Situation erf\u00fcllt sind, ist eine empirische Frage.<\/p>\n\n\n\n

Anwendung: Das Bertrand-Oligopol als Nash-Gleichgewicht<\/h2>\n\n\n\n

Ein wirtschaftliches Beispiel zeigt die N\u00fctzlichkeit des Konzepts. Im Bertrand-Duopol<\/strong> konkurrieren zwei Firmen \u00fcber den Preis. Jede kann einen hohen oder niedrigen Preis w\u00e4hlen. Die Auszahlungen seien so, dass \u201eniedriger Preis“ f\u00fcr jede Firma dominant ist \u2013 unabh\u00e4ngig davon, was die andere tut. Das Nash-Gleichgewicht lautet (niedrig, niedrig), mit niedrigen Gewinnen f\u00fcr beide.<\/p>\n\n\n\n

Dies ist das Gefangenendilemma in Oligopolform: Beide Firmen w\u00e4ren mit hohen Preisen besser dran, aber keiner kann sich darauf verlassen, dass die andere hoch bleibt. Das Gleichgewicht beschreibt die Stabilit\u00e4t<\/strong> des Wettbewerbsdrucks \u2013 und erkl\u00e4rt, warum Kartelle ohne bindende Absprachen instabil sind. Die Spieltheorie sagt nicht voraus, dass Firmen immer niedrige Preise w\u00e4hlen (empirisch gibt es Kartelle), aber sie zeigt, warum sie einen Anreiz<\/strong> haben, davon abzuweichen.<\/p>\n\n\n\n

Zusammenfassung und Ausblick<\/h2>\n\n\n\n

Teil 3 hat das zentrale L\u00f6sungskonzept der nichtkooperativen Spieltheorie eingef\u00fchrt. Das Nash-Gleichgewicht<\/strong> ist eine Strategiekombination, bei der kein Spieler durch einseitiges Abweichen besser gestellt wird. Es ist ein Stabilit\u00e4tskriterium, kein Optimierungskriterium: Ein Gleichgewicht kann pareto-inferior sein (Gefangenendilemma), und es kann mehrere Gleichgewichte geben (Chicken, Hirschjagd, Koordination). Nash bewies, dass jedes endliche Spiel mindestens ein Gleichgewicht in gemischten Strategien besitzt. Die Anwendung des Konzepts setzt Common Knowledge der Rationalit\u00e4t voraus \u2013 eine Annahme, die in der Realit\u00e4t oft verletzt ist.<\/p>\n\n\n\n

Teil 4 wird die gemischten Strategien<\/strong> vertiefen: Warum ist Randomisierung rational? Wie berechnet man gemischte Gleichgewichte? Und was bedeutet es, wenn ein Spiel kein Gleichgewicht in reinen Strategien hat? Das Schere-Stein-Papier-Spiel und das Elfmeterschie\u00dfen werden als Beispiele dienen.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Quellen<\/strong><\/p>\n\n\n\n