{"id":7817,"date":"2026-10-30T06:41:10","date_gmt":"2026-10-30T06:41:10","guid":{"rendered":"https:\/\/technodidact.de\/?p=7817"},"modified":"2026-10-30T06:41:11","modified_gmt":"2026-10-30T06:41:11","slug":"einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-4-gemischte-strategien-die-rationalitaet-des-zufalls","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technodidact.de\/en\/einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-4-gemischte-strategien-die-rationalitaet-des-zufalls\/","title":{"rendered":"Einf\u00fchrung in die Spieltheorie (Teil 4): Gemischte Strategien \u2013 Die Rationalit\u00e4t des Zufalls"},"content":{"rendered":"

Von DerSchneider<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Einstieg: Warum ein Elfmetersch\u00fctze nicht immer in dieselbe Ecke schie\u00dfen sollte<\/h2>\n\n\n\n

Stellen Sie sich einen Elfmetersch\u00fctzen vor. Er kann nach links oder rechts schie\u00dfen. Der Torwart kann nach links oder rechts springen. Wenn der Sch\u00fctze immer nach links schie\u00dft, wird der Torwart das irgendwann wissen und immer nach links springen \u2013 der Sch\u00fctze verliert. Wenn der Sch\u00fctze immer nach rechts schie\u00dft, gilt dasselbe. Was also tun?<\/p>\n\n\n\n

Die Antwort ist ebenso einfach wie zun\u00e4chst befremdlich: Der Sch\u00fctze sollte randomisieren<\/strong>. Er sollte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nach links und mit der komplement\u00e4ren Wahrscheinlichkeit nach rechts schie\u00dfen \u2013 und zwar so, dass der Torwart indifferent<\/strong> zwischen seinen beiden Optionen wird. Denn nur dann kann der Torwart die Strategie des Sch\u00fctzen nicht ausbeuten.<\/p>\n\n\n\n

Dies ist die Grundidee der gemischten Strategie<\/strong>. Teil 3 hat gezeigt, dass nicht jedes Spiel ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien besitzt. Schere-Stein-Papier, das Elfmeterschie\u00dfen und das M\u00fcnzwurfspiel (Matching Pennies) sind Beispiele daf\u00fcr. Die L\u00f6sung liegt in der Randomisierung. John Nash bewies, dass jedes endliche Spiel<\/strong> mindestens ein Gleichgewicht besitzt, wenn man gemischte Strategien zul\u00e4sst . Teil 4 erkl\u00e4rt, was gemischte Strategien sind, warum sie rational sein k\u00f6nnen, wie man sie berechnet und wo ihre Grenzen liegen.<\/p>\n\n\n\n

Was eine gemischte Strategie ist<\/h2>\n\n\n\n

Eine reine Strategie<\/strong> legt fest, welche Aktion ein Spieler in jeder m\u00f6glichen Situation w\u00e4hlt \u2013 ohne Zufall, ohne Abweichung. \u201eImmer links schie\u00dfen“ ist eine reine Strategie. \u201eImmer Schere spielen“ ist eine reine Strategie.<\/p>\n\n\n\n

Eine gemischte Strategie<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung \u00fcber den reinen Strategien . Der Spieler w\u00e4hlt nicht direkt eine Aktion, sondern einen Zufallsmechanismus, der eine reine Strategie ausw\u00e4hlt. Mathematisch: Wenn ein Spieler m<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>m<\/em> reine Strategien hat, ist eine gemischte Strategie ein Vektor (<\/mo>p<\/mi>1<\/mn><\/msub>,<\/mo>\u2026<\/mo>,<\/mo>p<\/mi>m<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>(p<\/em>1\u200b,\u2026,p<\/em>m<\/em>\u200b) mit p<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2265<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em>i<\/em>\u200b\u22650 und \u2211<\/mo>p<\/mi>i<\/mi><\/msub>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>\u2211p<\/em>i<\/em>\u200b=1.<\/p>\n\n\n\n

Wichtig ist die Unterscheidung: Eine gemischte Strategie ist nicht<\/strong> dasselbe wie die Unsicherheit eines Spielers \u00fcber das Verhalten des anderen. Sie ist eine bewusste Randomisierung durch den Spieler selbst. Der Elfmetersch\u00fctze, der randomisiert, tut dies nicht, weil er nicht wei\u00df, was er tun soll, sondern weil er wei\u00df, dass der Torwart ihn sonst ausrechnen k\u00f6nnte.<\/p>\n\n\n\n

Die Idee ist nicht neu. \u00c9mile Borel verwendete gemischte Strategien bereits 1921, John von Neumann 1928 . Aber erst Nash zeigte, dass sie f\u00fcr die Existenz von Gleichgewichten in allen endlichen Spielen sorgen.<\/p>\n\n\n\n

Das Fundamental-Lemma: Wann eine gemischte Strategie optimal ist<\/h2>\n\n\n\n

Bevor wir zur Berechnung kommen, ist ein Satz n\u00f6tig, der die Logik gemischter Gleichgewichte erkl\u00e4rt. Er wird in der Literatur als Fundamental-Lemma<\/strong> oder Antwortkriterium<\/strong> bezeichnet:<\/p>\n\n\n\n

\n

Eine gemischte Strategie q<\/mi>i<\/mi>\u2217<\/mo><\/msubsup><\/mrow><\/semantics><\/math>q<\/em>i<\/em>\u2217\u200b ist genau dann eine beste Antwort auf die Strategien q<\/mi>\u2212<\/mo>i<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>q<\/em>\u2212i<\/em>\u200b der anderen Spieler, wenn alle<\/strong> reinen Strategien s<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>s<\/em>i<\/em>\u200b, die mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt werden (q<\/mi>i<\/mi>\u2217<\/mo><\/msubsup>(<\/mo>s<\/mi>i<\/mi><\/msub>)<\/mo>><\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>q<\/em>i<\/em>\u2217\u200b(s<\/em>i<\/em>\u200b)>0), beste Antworten auf q<\/mi>\u2212<\/mo>i<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>q<\/em>\u2212i<\/em>\u200b sind .<\/a><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Anders formuliert: Wenn ein Spieler randomisiert, m\u00fcssen die reinen Strategien, zwischen denen er randomisiert, denselben Erwartungsnutzen<\/strong> haben. W\u00fcrde eine davon einen h\u00f6heren Nutzen liefern, w\u00e4re es irrational, sie nicht mit Sicherheit zu spielen.<\/p>\n\n\n\n

Daraus folgt die zentrale Rechenregel f\u00fcr gemischte Gleichgewichte: Man sucht die Wahrscheinlichkeiten, mit denen der andere<\/strong> Spieler randomisieren muss, damit der erste<\/strong> Spieler zwischen seinen reinen Strategien indifferent wird. Im Gleichgewicht muss jeder Spieler den anderen indifferent machen \u2013 nicht sich selbst.<\/p>\n\n\n\n

Berechnung am Beispiel: Das M\u00fcnzwurfspiel (Matching Pennies)<\/h2>\n\n\n\n

Das einfachste Beispiel ist das M\u00fcnzwurfspiel<\/strong>. Zwei Spieler w\u00e4hlen gleichzeitig \u201eKopf“ oder \u201eZahl“. Spieler A gewinnt, wenn beide dieselbe Seite w\u00e4hlen. Spieler B gewinnt, wenn sie unterschiedliche Seiten w\u00e4hlen. Die Auszahlungsmatrix (A, B):<\/p>\n\n\n\n

<\/th>B: Kopf<\/th>B: Zahl<\/th><\/tr><\/thead>
A: Kopf<\/strong><\/td>(1, \u22121)<\/td>(\u22121, 1)<\/td><\/tr>
A: Zahl<\/strong><\/td>(\u22121, 1)<\/td>(1, \u22121)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Es gibt kein Gleichgewicht in reinen Strategien: Wenn A immer Kopf w\u00e4hlt, w\u00e4hlt B immer Zahl und gewinnt. Wenn A immer Zahl w\u00e4hlt, w\u00e4hlt B immer Kopf. Jede feste Wahl ist ausbeutbar .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Nun zur gemischten Strategie. Sei p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em> die Wahrscheinlichkeit, mit der A \u201eKopf“ spielt. B ist indifferent zwischen Kopf und Zahl, wenn der Erwartungsnutzen beider Optionen gleich ist.<\/p>\n\n\n\n

Wenn B \u201eKopf“ spielt: Mit Wahrscheinlichkeit p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em> w\u00e4hlt A Kopf, B verliert (\u22121). Mit Wahrscheinlichkeit 1<\/mn>\u2212<\/mo>p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>1\u2212p<\/em> w\u00e4hlt A Zahl, B gewinnt (+1). Erwartungsnutzen: p<\/mi>\u22c5<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>1<\/mn>)<\/mo>+<\/mo>(<\/mo>1<\/mn>\u2212<\/mo>p<\/mi>)<\/mo>\u22c5<\/mo>1<\/mn>=<\/mo>1<\/mn>\u2212<\/mo>2<\/mn>p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em>\u22c5(\u22121)+(1\u2212p<\/em>)\u22c51=1\u22122p<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Wenn B \u201eZahl“ spielt: Mit Wahrscheinlichkeit p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em> w\u00e4hlt A Kopf, B gewinnt (+1). Mit Wahrscheinlichkeit 1<\/mn>\u2212<\/mo>p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>1\u2212p<\/em> w\u00e4hlt A Zahl, B verliert (\u22121). Erwartungsnutzen: p<\/mi>\u22c5<\/mo>1<\/mn>+<\/mo>(<\/mo>1<\/mn>\u2212<\/mo>p<\/mi>)<\/mo>\u22c5<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>1<\/mn>)<\/mo>=<\/mo>2<\/mn>p<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em>\u22c51+(1\u2212p<\/em>)\u22c5(\u22121)=2p<\/em>\u22121.<\/p>\n\n\n\n

Gleichsetzen: 1<\/mn>\u2212<\/mo>2<\/mn>p<\/mi>=<\/mo>2<\/mn>p<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>1\u22122p<\/em>=2p<\/em>\u22121 \u2192 2<\/mn>=<\/mo>4<\/mn>p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>2=4p<\/em> \u2192 p<\/mi>=<\/mo>1<\/mn>\/<\/mi>2<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em>=1\/2.<\/p>\n\n\n\n

A muss also mit Wahrscheinlichkeit 1<\/mn>\/<\/mi>2<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>1\/2 Kopf und 1<\/mn>\/<\/mi>2<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>1\/2 Zahl spielen. Aus Symmetrie gilt dasselbe f\u00fcr B. Das gemischte Nash-Gleichgewicht ist (<\/mo>1<\/mn>\/<\/mi>2<\/mn>,<\/mo>1<\/mn>\/<\/mi>2<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>(1\/2,1\/2) f\u00fcr beide Spieler .<\/p>\n\n\n\n

Die Interpretation: Wenn A mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kopf und Zahl w\u00e4hlt, ist es f\u00fcr B egal, was er tut \u2013 der Erwartungsnutzen ist null in beiden F\u00e4llen. B kann nicht ausbeuten, und A kann nicht ausgebeutet werden. Die Randomisierung schafft Stabilit\u00e4t durch Unvorhersehbarkeit<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Das Hirschjagd-Spiel: Ein gemischtes Gleichgewicht, das niemand will<\/h2>\n\n\n\n

Das Hirschjagd-Spiel aus Teil 3 hat zwei Gleichgewichte in reinen Strategien: (Hirsch, Hirsch) und (Hase, Hase). Es besitzt aber auch ein gemischtes Gleichgewicht<\/strong>, das oft \u00fcbersehen wird \u2013 und dessen Interpretation lehrreich ist.<\/p>\n\n\n\n

Die Auszahlungsmatrix sei:<\/p>\n\n\n\n

<\/th>B: Hirsch<\/th>B: Hase<\/th><\/tr><\/thead>
A: Hirsch<\/strong><\/td>(5, 5)<\/td>(0, 4)<\/td><\/tr>
A: Hase<\/strong><\/td>(4, 0)<\/td>(2, 2)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Sei y<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>y<\/em> die Wahrscheinlichkeit, mit der B Hirsch jagt. A ist indifferent, wenn:<\/p>\n\n\n\n