{"id":7819,"date":"2026-10-30T06:42:20","date_gmt":"2026-10-30T06:42:20","guid":{"rendered":"https:\/\/technodidact.de\/?p=7819"},"modified":"2026-10-30T06:42:21","modified_gmt":"2026-10-30T06:42:21","slug":"einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-5-dynamische-spiele-und-rueckwaertsinduktion-wenn-entscheidungen-aufeinander-aufbauen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technodidact.de\/en\/einfuehrung-in-die-spieltheorie-teil-5-dynamische-spiele-und-rueckwaertsinduktion-wenn-entscheidungen-aufeinander-aufbauen\/","title":{"rendered":"Einf\u00fchrung in die Spieltheorie (Teil 5): Dynamische Spiele und R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion \u2013 Wenn Entscheidungen aufeinander aufbauen"},"content":{"rendered":"\n

Von DerSchneider<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Einstieg: Das Ultimatum, das die Theorie auf den Kopf stellt<\/h2>\n\n\n\n

Stellen Sie sich vor, Sie und ein Fremder erhalten gemeinsam 100 Euro. Sie sind derjenige, der den Vorschlag machen darf: Sie schlagen eine Aufteilung vor, und der andere entscheidet, ob er annimmt oder ablehnt. Lehnt er ab, erhalten beide nichts. Nehmen Sie an, der andere sei ein rationaler Nutzenmaximierer, der nur auf seinen eigenen Geldbetrag schaut. Was sollten Sie vorschlagen?<\/p>\n\n\n\n

Die spieltheoretische Antwort, die sich aus der R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion<\/strong> ergibt, ist ebenso eindeutig wie verst\u00f6rend: Sie sollten ihm einen Cent<\/strong> anbieten (oder das Minimum, das die Spielregeln zulassen). Denn der andere steht vor der Wahl, einen Cent zu nehmen oder nichts zu bekommen. Ein Cent ist besser als nichts \u2013 also wird er annehmen. Und weil Sie das wissen, k\u00f6nnen Sie ihm den kleinsten Betrag anbieten, den er gerade noch akzeptiert.<\/p>\n\n\n\n

Die Realit\u00e4t sieht anders aus. In unz\u00e4hligen Experimenten seit den 1980er Jahren zeigen Menschen ein anderes Verhalten: Als Anbieter machen sie typischerweise Angebote im Bereich von 40 bis 50 Prozent. Und als Empf\u00e4nger lehnen sie niedrige Angebote \u2013 etwa unter 20 Prozent \u2013 oft ab, selbst wenn sie dadurch selbst leer ausgehen .<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n

Dieser Widerspruch zwischen theoretischer Vorhersage und beobachtetem Verhalten ist einer der bekanntesten Befunde der experimentellen Wirtschaftsforschung. Er markiert zugleich die St\u00e4rke und die Grenze der R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion: Sie liefert unter bestimmten Annahmen eine pr\u00e4zise L\u00f6sung \u2013 aber diese Annahmen sind in der Realit\u00e4t oft nicht erf\u00fcllt.<\/p>\n\n\n\n

Teil 4 hat gemischte Strategien behandelt. Teil 5 wendet sich nun den dynamischen Spielen<\/strong> zu: Situationen, in denen Entscheidungen sequenziell erfolgen, in denen ein Spieler auf die Z\u00fcge des anderen reagieren kann und in denen die zeitliche Struktur f\u00fcr das Ergebnis entscheidend ist.<\/p>\n\n\n\n

Was ein dynamisches Spiel ausmacht<\/h2>\n\n\n\n

In den bisher behandelten Spielen haben die Spieler gleichzeitig<\/strong> entschieden. Die Normalform (Matrix) war die nat\u00fcrliche Darstellung. In dynamischen Spielen hingegen zieht ein Spieler nach dem anderen. Die Extensivform (Spielbaum, Teil 2) ist hier die angemessene Darstellung, weil sie die Reihenfolge<\/strong> der Z\u00fcge und die Informationsst\u00e4nde<\/strong> der Spieler explizit macht.<\/p>\n\n\n\n

Formal besteht ein dynamisches Spiel mit vollst\u00e4ndiger Information aus: einer Menge von Spielern, einer Reihenfolge der Z\u00fcge, den Aktionen, die an jedem Entscheidungsknoten verf\u00fcgbar sind, den Auszahlungen an den Endknoten und der Annahme, dass jeder Spieler wei\u00df, an welchem Knoten er sich befindet, wenn er am Zug ist . \u201ePerfekte Information“ bedeutet, dass kein Spieler im Unklaren dar\u00fcber ist, welche Z\u00fcge zuvor gemacht wurden \u2013 eine Annahme, die f\u00fcr Schach oder das Ultimatumspiel gilt, nicht aber f\u00fcr Kartenspiele, bei denen man die Karten des Gegners nicht kennt.<\/a><\/p>\n\n\n\n

Die Methode: R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion<\/h2>\n\n\n\n

Die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion<\/strong> ist das Standardverfahren zur L\u00f6sung dynamischer Spiele mit vollst\u00e4ndiger Information. Die Idee ist einfach: Man beginnt am Ende<\/strong> des Spiels und arbeitet sich r\u00fcckw\u00e4rts zum Anfang vor.<\/p>\n\n\n\n

Konkret: Man betrachtet den letzten Entscheidungsknoten. Der Spieler, der dort am Zug ist, w\u00e4hlt die Aktion, die ihm die h\u00f6chste Auszahlung verspricht. Diese Wahl wird als \u201ebeste Antwort“ festgehalten und der Knoten durch das resultierende Ergebnis ersetzt. Dann geht man einen Schritt zur\u00fcck zum vorletzten Knoten und wiederholt das Verfahren \u2013 unter der Annahme, dass der Spieler dort die bereits ermittelten optimalen Entscheidungen der nachfolgenden Spieler antizipiert<\/strong>. Dies setzt man fort, bis man an der Wurzel des Spiels angekommen ist .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Das Ergebnis dieses Verfahrens hei\u00dft R\u00fcckw\u00e4rtsinduktionsergebnis (RIE)<\/strong>. Es beschreibt eine Kombination von Strategien, bei der jeder Spieler an jedem seiner Entscheidungsknoten optimal handelt, gegeben die Strategien der anderen. F\u00fcr endliche Spiele mit perfekter Information gilt: Das R\u00fcckw\u00e4rtsinduktionsergebnis ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht<\/strong> \u2013 eine Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts, die ausschlie\u00dft, dass Spieler an Knoten, die im Gleichgewicht gar nicht erreicht werden, irrationale (nicht-optimale) Pl\u00e4ne haben .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Das Ultimatumspiel: Die formale Analyse<\/h2>\n\n\n\n

Das Ultimatumspiel ist das paradigmatische Beispiel f\u00fcr R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion. Zwei Spieler \u2013 nennen wir sie Anne (Anbieterin) und Bob (Empf\u00e4nger) \u2013 teilen einen Betrag von 1 Euro. Anne w\u00e4hlt einen Anteil a<\/mi>1<\/mn><\/msub>\u2208<\/mo>[<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>1<\/mn>]<\/mo><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b\u2208[0,1] f\u00fcr sich; Bob erh\u00e4lt den Rest 1<\/mn>\u2212<\/mo>a<\/mi>1<\/mn><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>1\u2212a<\/em>1\u200b. Bob kann das Angebot annehmen (\u201eja“) oder ablehnen (\u201enein“). Bei Annahme erhalten beide ihre Anteile; bei Ablehnung erhalten beide 0 .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Schritt 1: Bobs Entscheidung.<\/strong> Bob steht am letzten Knoten. Wenn Anne einen Anteil a<\/mi>1<\/mn><\/msub><<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b<1 angeboten hat, erh\u00e4lt Bob bei Annahme 1<\/mn>\u2212<\/mo>a<\/mi>1<\/mn><\/msub>><\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>1\u2212a<\/em>1\u200b>0, bei Ablehnung 0. Seine beste Antwort ist eindeutig: annehmen<\/strong>. Wenn Anne a<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b=1 angeboten hat, erh\u00e4lt Bob bei Annahme 0 \u2013 genau so viel wie bei Ablehnung. In diesem Fall ist er indifferent; sowohl \u201eja“ als auch \u201enein“ (und jede gemischte Strategie) sind beste Antworten .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Schritt 2: Annes Entscheidung.<\/strong> Anne antizipiert Bobs Verhalten. Wenn sie a<\/mi>1<\/mn><\/msub><<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b<1 w\u00e4hlt, wird Bob annehmen, und sie erh\u00e4lt a<\/mi>1<\/mn><\/msub><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b. Wenn sie a<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b=1 w\u00e4hlt, ist Bob indifferent. Anne kann dann nicht sicher sein, dass Bob annimmt \u2013 es sei denn, sie geht davon aus, dass Bob bei Indifferenz \u201eja“ w\u00e4hlt (was eine m\u00f6gliche, aber nicht zwingende Annahme ist). Wenn Anne davon ausgeht, dass Bob mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em> annimmt, ist ihr erwarteter Nutzen bei a<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b=1 gleich p<\/mi>\u22c5<\/mo>1<\/mn>+<\/mo>(<\/mo>1<\/mn>\u2212<\/mo>p<\/mi>)<\/mo>\u22c5<\/mo>0<\/mn>=<\/mo>p<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em>\u22c51+(1\u2212p<\/em>)\u22c50=p<\/em>. F\u00fcr p<\/mi>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em>=1 ist dies 1 \u2013 besser als jedes a<\/mi>1<\/mn><\/msub><<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>a<\/em>1\u200b<1. F\u00fcr p<\/mi><<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/semantics><\/math>p<\/em><1 kann sie durch ein etwas kleineres Angebot einen sicheren Nutzen erzielen .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Das R\u00fcckw\u00e4rtsinduktionsergebnis lautet daher: Anne bietet a1=1a<\/em>1\u200b=1 an (oder das Maximum, das sie sich nehmen kann), und Bob nimmt an.<\/strong> Bob erh\u00e4lt 0 \u2013 genau so viel, wie er bei Ablehnung bek\u00e4me. Die Analyse zeigt: Das Ergebnis ist pareto-effizient<\/strong> (niemand kann besser gestellt werden, ohne den anderen schlechter zu stellen), aber extrem ungleich<\/strong>. Der Anbieter eignet sich die gesamte Summe an, weil der Empf\u00e4nger keine glaubw\u00fcrdige Drohung hat, ein Angebot abzulehnen, das ihm immerhin noch einen positiven Betrag sichert .<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n

Warum die Theorie und die Empirie auseinanderfallen<\/h2>\n\n\n\n

Die experimentelle Evidenz ist eindeutig und robust: Menschen verhalten sich im Ultimatumspiel nicht<\/strong> so, wie die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion es vorhersagt. Anbieter machen gro\u00dfz\u00fcgigere Angebote (typisch 40\u201350 Prozent), und Empf\u00e4nger lehnen niedrige Angebote ab, obwohl sie dadurch selbst auf Geld verzichten .<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr diese Diskrepanz gibt es mehrere Erkl\u00e4rungen. Erstens: Fairness-Pr\u00e4ferenzen.<\/strong> Menschen haben nicht nur Pr\u00e4ferenzen \u00fcber ihren eigenen Konsum, sondern auch \u00fcber die Verteilung der Ergebnisse. Ein Angebot von 10 Prozent f\u00fcr den Empf\u00e4nger wird als unfair wahrgenommen, und die Ablehnung ist ein Ausdruck der Pr\u00e4ferenz f\u00fcr Fairness \u2013 auch wenn sie materiell kostspielig ist .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Zweitens: Die Einmaligkeit der Situation.<\/strong> Das Laborexperiment ist eine einmalige<\/strong> Interaktion mit einem Fremden. In der Realit\u00e4t interagieren Menschen wiederholt mit denselben Personen. In wiederholten Spielen kann es rational sein, sich einen Ruf als \u201ehart“ aufzubauen, um langfristig bessere Angebote zu erzwingen. Die Ablehnung eines niedrigen Angebots ist dann eine Investition in Reputation .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Drittens: Kulturelle Normen.<\/strong> Anthropologische Studien zeigen, dass das Verhalten im Ultimatumspiel stark von kulturellen Kontexten abh\u00e4ngt. In kleinen, isolierten Gesellschaften mit wenig Austausch au\u00dferhalb der Familie (etwa den Machiguenga in Peru) sind die Angebote niedriger und die Ablehnungsraten geringer als in westlichen Gesellschaften. In Gesellschaften mit ausgepr\u00e4gten Kooperations- und Tauschnormen (etwa den Lamalera-Walf\u00e4ngern) sind die Angebote gro\u00dfz\u00fcgiger, aber auch die Ablehnungsraten h\u00f6her \u2013 weil die Normen, die das Teilen regeln, strikter sind .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Viertens: Die Common-Knowledge-Annahme.<\/strong> Die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion setzt voraus, dass beide Spieler wissen, dass beide rational sind, dass beide wissen, dass beide wissen, und so weiter. Diese Annahme ist im Labor oft verletzt. Empf\u00e4nger lehnen ab, weil sie die Rationalit\u00e4t des Anbieters nicht als gegeben hinnehmen \u2013 oder weil sie selbst nicht rein materiell rational sind.<\/p>\n\n\n\n

Ein zweites Beispiel: Das again wiederholte Gefangenendilemma<\/h2>\n\n\n\n

Die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion ist nicht auf das Ultimatumspiel beschr\u00e4nkt. Ein klassisches Anwendungsbeispiel ist das endlich wiederholte Gefangenendilemma<\/strong>. Wenn das Spiel genau T<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>T<\/em> Runden dauert (mit bekanntem T<\/mi><\/mrow><\/semantics><\/math>T<\/em>), argumentiert die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion wie folgt: In der letzten Runde ist die Situation identisch mit dem einmaligen Spiel \u2013 beide Spieler haben einen Anreiz zu gestehen. Da beide das wissen, ist auch in der vorletzten Runde Gest\u00e4ndnis optimal, weil die letzte Runde ohnehin nicht kooperativ sein wird. Diese Logik setzt sich bis zur ersten Runde fort: Das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht ist, in jeder<\/strong> Runde zu gestehen .<\/a><\/p>\n\n\n\n

Dieses Ergebnis ist intuitiv unbefriedigend, weil es der Beobachtung widerspricht, dass Menschen in wiederholten Interaktionen oft kooperieren. Die Erkl\u00e4rung liegt darin, dass die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion ein sehr starkes Rationalit\u00e4ts- und Wissen-Erfordernis hat. Wenn die Spieler die Anzahl der Runden nicht genau kennen oder wenn sie nicht sicher sind, dass der andere rational ist, kann Kooperation stabil sein. Davon wird in Teil 6 ausf\u00fchrlich die Rede sein.<\/p>\n\n\n\n

Die Grenzen der R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion<\/h2>\n\n\n\n

Drei Einschr\u00e4nkungen sind f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis zentral.<\/p>\n\n\n\n

Erstens: Die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion setzt vollst\u00e4ndige Information voraus.<\/strong> Wenn ein Spieler nicht wei\u00df, welche Auszahlungen der andere hat oder welche Z\u00fcge zuvor gemacht wurden, ist das Verfahren nicht direkt anwendbar. Spiele mit unvollst\u00e4ndiger oder imperfekter Information erfordern andere L\u00f6sungskonzepte (Teil 7).<\/p>\n\n\n\n

Zweitens: Die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion setzt voraus, dass die Spieler die Struktur des Spiels vollst\u00e4ndig kennen \u2013 insbesondere das Ende.<\/strong> Bei Spielen mit unendlichem Horizont (oder unbekanntem Ende) versagt das Verfahren. Das ist kein technisches Detail: Viele reale Interaktionen haben kein absehbares Ende, und die Annahme eines bekannten Endes kann das Ergebnis qualitativ ver\u00e4ndern.<\/p>\n\n\n\n

Drittens: Die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion liefert oft Ergebnisse, die kontraintuitiv oder empirisch unplausibel sind.<\/strong> Das Ultimatumspiel ist das bekannteste Beispiel. Ein anderes ist das Tausendf\u00fc\u00dfler-Spiel<\/strong>, in dem die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion zu einem sofortigen Abbruch f\u00fchrt, obwohl beide Spieler durch Fortsetzung besser dran w\u00e4ren. Solche Ergebnisse sind nicht \u201efalsch“ \u2013 sie zeigen, was unter bestimmten Annahmen folgt. Aber sie erinnern daran, dass die Annahmen der Pr\u00fcfung bed\u00fcrfen.<\/p>\n\n\n\n

Zusammenfassung und Ausblick<\/h2>\n\n\n\n

Teil 5 hat dynamische Spiele und die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion als zentrales L\u00f6sungsverfahren eingef\u00fchrt. Die R\u00fcckw\u00e4rtsinduktion beginnt am Ende des Spielbaums und arbeitet sich unter der Annahme optimalen Verhaltens der nachfolgenden Spieler zum Anfang vor. F\u00fcr endliche Spiele mit vollst\u00e4ndiger Information liefert sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Das Ultimatumspiel zeigt sowohl die St\u00e4rke des Verfahrens (es liefert eine pr\u00e4zise Vorhersage) als auch seine Grenze (die Vorhersage stimmt mit beobachtetem Verhalten nicht \u00fcberein). Die Diskrepanz verweist auf Fairness-Pr\u00e4ferenzen, Reputationseffekte, kulturelle Normen und die Fragilit\u00e4t der Rationalit\u00e4tsannahme.<\/p>\n\n\n\n

Teil 6 wird sich den wiederholten Spielen<\/strong> zuwenden: Warum kooperieren Menschen, obwohl das einmalige Gefangenendilemma anderes nahelegt? Wie kann Kooperation in einer Welt egoistischer Akteure stabil sein? Die Antwort liegt in der Zukunft<\/strong>: Wenn die Interaktion fortgesetzt wird, ver\u00e4ndert sich die Anreizstruktur grundlegend. Robert Axelrods Turnier und die Tit-for-Tat-Strategie werden im Zentrum stehen.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Quellen<\/strong><\/p>\n\n\n\n