Das größte Rätsel der kleinen Zahlen: Warum wir immer noch nicht wissen, ob 2+2 immer 4 ist

Es ist eine der einfachsten Fragen der Mathematik: Lässt sich jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen schreiben? Jedes Kind versteht das Problem. Doch seit fast 300 Jahren beißen sich die klügsten Köpfe der Welt daran die Zähne aus. Die Goldbachsche Vermutung ist der heilige Gral der Zahlentheorie – einfach zu formulieren, aber scheinbar unmöglich zu beweisen.

Im Jahr 1742 schrieb der preußische Mathematiker Christian Goldbach einen Brief an den großen Leonhard Euler. Es war eine lose Bemerkung am Rande, eine Beobachtung, die Goldbach beim Spielen mit Zahlen gemacht hatte. Er fragte sich, ob wohl jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden könne. Euler, das Genie seiner Zeit, antwortete zurückhaltend. Er hielt die Behauptung für zutreffend, gestand aber: „Ich halte dies für ein ganz gewisses Theorem, obwohl ich es nicht beweisen kann.“

Mit diesem Satz begann eines der größten Abenteuer der Mathematikgeschichte. Was als beiläufige Frage in einem Brief begann, entwickelte sich zur Goldbachschen Vermutung – einem Problem, das Generationen von Mathematikern in den Bann zog und bis heute ungelöst ist.

Die Poesie der Primzahlen

Um die Faszination zu verstehen, muss man die Akteure kennen: die Primzahlen. Sie sind die Atome der Mathematik, die unteilbaren Grundbausteine jeder natürlichen Zahl. 2, 3, 5, 7, 11, 13 – sie folgen keinem einfachen Muster, sondern tauchen scheinbar willkürlich im Zahlenstrahl auf. Mal sind sie dicht gedrängt wie Zwillinge (17 und 19), mal klaffen riesige Lücken.

Die Goldbachsche Vermutung, oft vereinfacht als „n = prim + prim“ dargestellt, behauptet nun, dass diese spröden Bausteine in einer fundamentalen Beziehung zueinander stehen: Jede gerade Zahl ist die Summe zweier von ihnen.

Die Belege sind überwältigend. Schon die ersten Beispiele bestätigen die Regel:

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 3 + 7 (oder 5 + 5)
• 100 = 3 + 97 (oder 11 + 89, 17 + 83, 29 + 71, 41 + 59, 47 + 53)

Mit dem Aufkommen der Computer wurde die Vermutung bis in unvorstellbare Höhen getestet. Ein verteiltes Rechenprojekt namens BOINC hat die Vermutung für alle geraden Zahlen bis 4 × 10¹⁸ (das ist eine 4 mit 18 Nullen) verifiziert. Nicht ein einziges Gegenbeispiel wurde gefunden.

Und dennoch: Für einen Mathematiker ist das kein Beweis. Es ist wie die Beobachtung von tausend weißen Schwänen – sie beweist nicht, dass es keine schwarzen gibt. Es könnte immer noch eine unvorstellbar große gerade Zahl geben, die sich hartnäckig jeder Zerlegung in zwei Primzahlen widersetzt.

Der verfluchte Beweis

Warum ist dieses Problem so unglaublich schwer? Die Antwort liegt in der Natur der Primzahlen selbst. Während die Multiplikation von Primzahlen einfach ist (jede Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung), ist die Addition ein chaotischer Prozess. Es gibt keine Formel, die vorhersagt, wann die Summe zweier Primzahlen eine bestimmte gerade Zahl ergibt.

Die Mathematik hat im Laufe der Jahrhunderte gewaltige Waffen entwickelt, um das Problem zu bekämpfen – mit Teilerfolgen, aber ohne endgültigen Sieg.

1937 gelang dem russischen Mathematiker Iwan Winogradow ein Durchbruch. Er bewies, dass jede hinreichend große ungerade Zahl als Summe von drei Primzahlen darstellbar ist. Diese „schwache“ Goldbachsche Vermutung wurde 2013 schließlich vollständig vom Peruaner Harald Helfgott bewiesen. Ein Meilenstein, aber die „starke“ Vermutung für gerade Zahlen blieb unberührt.

Noch näher kam man dem Ziel mit der sogenannten Chen-Satz. Der chinesische Mathematiker Chen Jingrun bewies 1966, dass jede hinreichend große gerade Zahl entweder die Summe zweier Primzahlen oder die Summe einer Primzahl und einer „Halbprimzahl“ (dem Produkt zweier Primzahlen) ist. Chen kam dem Beweis so nah wie kein anderer – und scheiterte doch an der letzten Hürde.

Ein schwarzer Schwan namens 5.975.832.147.623.098?

Könnte es ein Gegenbeispiel geben? Die Vorstellung ist verstörend. Man stelle sich vor, eines Tages stößt ein Rechenzentrum auf eine Zahl, sagen wir: 5.975.832.147.623.098, für die sich einfach kein Primzahl-Paar findet. Die Mathematik, wie wir sie kennen, wäre nicht am Ende. Aber die Zahlentheorie stünde vor einem Rätsel. Die scheinbar fundamentale Ordnung der Zahlen wäre durchbrochen, ein „Unfall“ im Zahlenuniversum entdeckt.

Die meisten Mathematiker glauben nicht daran. Die empirische Evidenz ist überwältigend, und zahlreiche heuristische (auf Wahrscheinlichkeiten basierende) Modelle legen nahe, dass die Vermutung stimmt. Je größer eine Zahl wird, desto mehr Primzahlen stehen potenziell für eine Summe zur Verfügung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl keine solche Summe ist, sinkt rapide gegen Null. Aber „rapide gegen Null sinken“ ist nicht „gleich Null“.

Es ist diese Spannung zwischen dem, was wir für wahr halten, und dem, was wir beweisen können, die die Goldbachsche Vermutung so faszinierend macht. Sie ist ein Symbol für die Grenzen unseres Wissens. Ein Problem, das so alt ist wie die moderne Mathematik selbst, wartet immer noch auf seinen Beweis.

Der Brief von Christian Goldbach an Leonhard Euler liegt heute in der Bibliothek der Russischen Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg. Ein unscheinbares Stück Papier, das ein Monster gebar. Vielleicht liegt die Lösung in einem anderen Archiv, in einem Notizbuch, das noch nicht gefunden wurde. Oder sie wartet auf einen jungen Mathematiker, der gerade heute beginnt, über das Wesen der Zahlen nachzudenken und sich fragt: „Was ist eigentlich 2 + 2?“

Quellen

• Goldbach, C. (1742). Brief an L. Euler, 7. Juni 1742.
• Euler, L. (1742). Antwort an C. Goldbach, 30. Juni 1742.
• Helfgott, H. A. (2013). Major arcs for Goldbach’s theorem. Annals of Mathematics, 179(2), 459-516.
• Chen, J. R. (1973). On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Scientia Sinica, 16, 157-176.
• Oliveira e Silva, T., Herzog, S., & Pardi, S. (2014). Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4·10^18. Mathematics of Computation, 83(288), 2033-2060.