Einführung in die Spieltheorie (Teil 4): Gemischte Strategien – Die Rationalität des Zufalls

Von DerSchneider

Einstieg: Warum ein Elfmeterschütze nicht immer in dieselbe Ecke schießen sollte

Stellen Sie sich einen Elfmeterschützen vor. Er kann nach links oder rechts schießen. Der Torwart kann nach links oder rechts springen. Wenn der Schütze immer nach links schießt, wird der Torwart das irgendwann wissen und immer nach links springen – der Schütze verliert. Wenn der Schütze immer nach rechts schießt, gilt dasselbe. Was also tun?

Die Antwort ist ebenso einfach wie zunächst befremdlich: Der Schütze sollte randomisieren. Er sollte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nach links und mit der komplementären Wahrscheinlichkeit nach rechts schießen – und zwar so, dass der Torwart indifferent zwischen seinen beiden Optionen wird. Denn nur dann kann der Torwart die Strategie des Schützen nicht ausbeuten.

Dies ist die Grundidee der gemischten Strategie. Teil 3 hat gezeigt, dass nicht jedes Spiel ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien besitzt. Schere-Stein-Papier, das Elfmeterschießen und das Münzwurfspiel (Matching Pennies) sind Beispiele dafür. Die Lösung liegt in der Randomisierung. John Nash bewies, dass jedes endliche Spiel mindestens ein Gleichgewicht besitzt, wenn man gemischte Strategien zulässt . Teil 4 erklärt, was gemischte Strategien sind, warum sie rational sein können, wie man sie berechnet und wo ihre Grenzen liegen.

Was eine gemischte Strategie ist

Eine reine Strategie legt fest, welche Aktion ein Spieler in jeder möglichen Situation wählt – ohne Zufall, ohne Abweichung. „Immer links schießen“ ist eine reine Strategie. „Immer Schere spielen“ ist eine reine Strategie.

Eine gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über den reinen Strategien . Der Spieler wählt nicht direkt eine Aktion, sondern einen Zufallsmechanismus, der eine reine Strategie auswählt. Mathematisch: Wenn ein Spieler $m$ m reine Strategien hat, ist eine gemischte Strategie ein Vektor $(p_{1}, \dots, p_{m})$ (p1,…,pm) mit $p_{i} \geq 0$ pi≥0 und $\sum p_{i} = 1$ ∑pi=1.

Wichtig ist die Unterscheidung: Eine gemischte Strategie ist nicht dasselbe wie die Unsicherheit eines Spielers über das Verhalten des anderen. Sie ist eine bewusste Randomisierung durch den Spieler selbst. Der Elfmeterschütze, der randomisiert, tut dies nicht, weil er nicht weiß, was er tun soll, sondern weil er weiß, dass der Torwart ihn sonst ausrechnen könnte.

Die Idee ist nicht neu. Émile Borel verwendete gemischte Strategien bereits 1921, John von Neumann 1928 . Aber erst Nash zeigte, dass sie für die Existenz von Gleichgewichten in allen endlichen Spielen sorgen.

Das Fundamental-Lemma: Wann eine gemischte Strategie optimal ist

Bevor wir zur Berechnung kommen, ist ein Satz nötig, der die Logik gemischter Gleichgewichte erklärt. Er wird in der Literatur als Fundamental-Lemma oder Antwortkriterium bezeichnet:

Eine gemischte Strategie $q_{i}^{*}$ qi∗ ist genau dann eine beste Antwort auf die Strategien $q_{- i}$ q−i der anderen Spieler, wenn alle reinen Strategien $s_{i}$ si, die mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt werden ( $q_{i}^{*} (s_{i}) > 0$ qi∗(si)>0), beste Antworten auf $q_{- i}$ q−i sind .

Anders formuliert: Wenn ein Spieler randomisiert, müssen die reinen Strategien, zwischen denen er randomisiert, denselben Erwartungsnutzen haben. Würde eine davon einen höheren Nutzen liefern, wäre es irrational, sie nicht mit Sicherheit zu spielen.

Daraus folgt die zentrale Rechenregel für gemischte Gleichgewichte: Man sucht die Wahrscheinlichkeiten, mit denen der andere Spieler randomisieren muss, damit der erste Spieler zwischen seinen reinen Strategien indifferent wird. Im Gleichgewicht muss jeder Spieler den anderen indifferent machen – nicht sich selbst.

Berechnung am Beispiel: Das Münzwurfspiel (Matching Pennies)

Das einfachste Beispiel ist das Münzwurfspiel. Zwei Spieler wählen gleichzeitig „Kopf“ oder „Zahl“. Spieler A gewinnt, wenn beide dieselbe Seite wählen. Spieler B gewinnt, wenn sie unterschiedliche Seiten wählen. Die Auszahlungsmatrix (A, B):

	B: Kopf	B: Zahl
A: Kopf	(1, −1)	(−1, 1)
A: Zahl	(−1, 1)	(1, −1)

Es gibt kein Gleichgewicht in reinen Strategien: Wenn A immer Kopf wählt, wählt B immer Zahl und gewinnt. Wenn A immer Zahl wählt, wählt B immer Kopf. Jede feste Wahl ist ausbeutbar .

Nun zur gemischten Strategie. Sei $p$ p die Wahrscheinlichkeit, mit der A „Kopf“ spielt. B ist indifferent zwischen Kopf und Zahl, wenn der Erwartungsnutzen beider Optionen gleich ist.

Wenn B „Kopf“ spielt: Mit Wahrscheinlichkeit $p$ p wählt A Kopf, B verliert (−1). Mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$ 1−p wählt A Zahl, B gewinnt (+1). Erwartungsnutzen: $p \cdot (- 1) + (1 - p) \cdot 1 = 1 - 2 p$ p⋅(−1)+(1−p)⋅1=1−2p.

Wenn B „Zahl“ spielt: Mit Wahrscheinlichkeit $p$ p wählt A Kopf, B gewinnt (+1). Mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$ 1−p wählt A Zahl, B verliert (−1). Erwartungsnutzen: $p \cdot 1 + (1 - p) \cdot (- 1) = 2 p - 1$ p⋅1+(1−p)⋅(−1)=2p−1.

Gleichsetzen: $1 - 2 p = 2 p - 1$ 1−2p=2p−1 → $2 = 4 p$ 2=4p → $p = 1 / 2$ p=1/2.

A muss also mit Wahrscheinlichkeit $1 / 2$ 1/2 Kopf und $1 / 2$ 1/2 Zahl spielen. Aus Symmetrie gilt dasselbe für B. Das gemischte Nash-Gleichgewicht ist $(1 / 2, 1 / 2)$ (1/2,1/2) für beide Spieler .

Die Interpretation: Wenn A mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kopf und Zahl wählt, ist es für B egal, was er tut – der Erwartungsnutzen ist null in beiden Fällen. B kann nicht ausbeuten, und A kann nicht ausgebeutet werden. Die Randomisierung schafft Stabilität durch Unvorhersehbarkeit.

Das Hirschjagd-Spiel: Ein gemischtes Gleichgewicht, das niemand will

Das Hirschjagd-Spiel aus Teil 3 hat zwei Gleichgewichte in reinen Strategien: (Hirsch, Hirsch) und (Hase, Hase). Es besitzt aber auch ein gemischtes Gleichgewicht, das oft übersehen wird – und dessen Interpretation lehrreich ist.

Die Auszahlungsmatrix sei:

	B: Hirsch	B: Hase
A: Hirsch	(5, 5)	(0, 4)
A: Hase	(4, 0)	(2, 2)

Sei $y$ y die Wahrscheinlichkeit, mit der B Hirsch jagt. A ist indifferent, wenn:

A jagt Hirsch: $y \cdot 5 + (1 - y) \cdot 0 = 5 y$ y⋅5+(1−y)⋅0=5y
A jagt Hase: $y \cdot 4 + (1 - y) \cdot 2 = 2 y + 2$ y⋅4+(1−y)⋅2=2y+2

Gleichsetzen: $5 y = 2 y + 2$ 5y=2y+2 → $3 y = 2$ 3y=2 → $y = 2 / 3$ y=2/3.

Aus Symmetrie: $x = 2 / 3$ x=2/3 für A. Das gemischte Gleichgewicht ist $(2 / 3, 2 / 3)$ (2/3,2/3) .

Was bedeutet das? Jeder Spieler jagt mit Wahrscheinlichkeit $2 / 3$ 2/3 Hirsch und mit $1 / 3$ 1/3 Hase. Die erwartete Auszahlung im gemischten Gleichgewicht ist $5 \cdot (2 / 3) = 10 / 3 \approx 3, 33$ 5⋅(2/3)=10/3≈3,33 – niedriger als im reinen Gleichgewicht (Hirsch, Hirsch) mit 5, aber höher als im reinen Gleichgewicht (Hase, Hase) mit 2.

Das gemischte Gleichgewicht ist also pareto-inferior gegenüber (Hirsch, Hirsch). Es ist stabil, aber nicht effizient. In der Realität wird es selten beobachtet, weil Spieler, die kooperieren können, das bessere reine Gleichgewicht wählen. Das gemischte Gleichgewicht ist dennoch theoretisch wichtig: Es zeigt, dass die Existenz eines Gleichgewichts nicht bedeutet, dass es wünschenswert ist.

Die Interpretation gemischter Gleichgewichte: Drei Lesarten

Die Frage, was ein gemischtes Gleichgewicht bedeutet, ist umstritten. Drei Interpretationen werden diskutiert.

Erstens: Bewusste Randomisierung. Der Spieler wirft tatsächlich eine Münze (oder verwendet einen Zufallsgenerator), um seine Aktion zu wählen. Der Elfmeterschütze randomisiert bewusst. Diese Lesart ist intuitiv für Spiele wie Elfmeterschießen oder Poker, wo Unvorhersehbarkeit einen direkten Wert hat .

Zweitens: Populationen. In einer großen Population von Spielern, die jeweils eine reine Strategie spielen, beschreibt die gemischte Strategie die Verteilung der reinen Strategien in der Population. Wenn $2 / 3$ 2/3 der Hirschjäger Hirsch jagen und $1 / 3$ 1/3 Hase, dann entspricht das dem gemischten Gleichgewicht – ohne dass irgendein Individuum randomisiert. Diese Interpretation stammt aus der evolutionären Spieltheorie und wird in Teil 8 vertieft .

Drittens: Unvollständige Information. Die anderen Spieler kennen die Auszahlungen eines Spielers nicht genau. Aus ihrer Perspektive sieht es so aus, als würde er randomisieren, obwohl er in Wahrheit eine reine Strategie spielt, die von seinem privaten Typ abhängt. Harsanyi zeigte, dass gemischte Gleichgewichte als Grenzfall von Spielen mit unvollständiger Information interpretiert werden können .

Keine dieser Interpretationen ist universell gültig. Die Wahl hängt vom Kontext ab. Für das Elfmeterschießen ist die erste Lesart plausibel; für die evolutionäre Stabilität die zweite; für Auktionen mit privaten Wertschätzungen die dritte.

Ein asymmetrisches Beispiel: Illegales Parken und Inspektion

Nicht alle gemischten Gleichgewichte sind symmetrisch. Ein Beispiel aus der Wikipedia zeigt, wie Randomisierung in asymmetrischen Situationen funktioniert :

Eine Autofahrerin kann illegal (bequem, Gewinn 10, Strafe −90 bei Erwischung) oder legal (weit entfernt, Gewinn 0) parken. Die Stadt kann inspizieren (Kosten −1) oder nicht. Wenn die Stadt nicht inspiziert, entgeht der Autofahrerin die Strafe. Die Auszahlungsmatrix sei so, dass kein Gleichgewicht in reinen Strategien existiert.

Die gemischte Lösung: Die Autofahrerin wählt illegales Parken mit einer Wahrscheinlichkeit, die die Stadt indifferent zwischen Inspizieren und Nicht-Inspizieren macht. Die Stadt wählt Inspizieren mit einer Wahrscheinlichkeit, die die Autofahrerin indifferent zwischen illegal und legal macht. Beide randomisieren – und keiner kann den anderen ausbeuten.

Dieses Muster findet sich in vielen Überwachungssituationen: Steuerprüfungen, Dopingkontrollen, Ladendiebstahl. Die Randomisierung ist keine Schwäche, sondern die einzige stabile Lösung.

Die Grenzen gemischter Gleichgewichte

Drei Einschränkungen verdienen Beachtung.

Erstens: Die Indifferenz ist fragil. Im gemischten Gleichgewicht ist der Spieler zwischen seinen reinen Strategien indifferent. Schon eine kleine Änderung der Auszahlungen kann die Indifferenz zerstören und das Gleichgewicht verschieben. Gemischte Gleichgewichte sind daher oft weniger robust als reine.

Zweitens: Die empirische Evidenz ist gemischt. Menschen randomisieren in Experimenten oft nicht so, wie die Theorie es vorhersagt. Sie wählen Muster, die sie für „zufällig“ halten, die aber tatsächlich vorhersehbar sind. Die Theorie sagt, wie man randomisieren sollte; ob Menschen es tun, ist eine empirische Frage.

Drittens: Die ethische Dimension. Randomisierung kann bedeuten, dass man bewusst eine schlechte Option mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit wählt – etwa eine Regelverletzung in Kauf nimmt, um unvorhersehbar zu bleiben. Das ist nicht per se unmoralisch (im Elfmeterschießen ist es Teil des Spiels), aber es zeigt, dass spieltheoretische Rationalität und moralische Bewertung auseinanderfallen können.

Zusammenfassung und Ausblick

Teil 4 hat die gemischte Strategie als Wahrscheinlichkeitsverteilung über reinen Strategien eingeführt. Das Fundamental-Lemma besagt, dass eine gemischte Strategie genau dann optimal ist, wenn alle reinen Strategien mit positiver Wahrscheinlichkeit denselben Erwartungsnutzen haben. Die Berechnung erfolgt, indem man die Wahrscheinlichkeiten findet, die den anderen Spieler indifferent machen. Beispiele waren das Münzwurfspiel, das Hirschjagd-Spiel und die Parkraumüberwachung.

Gemischte Gleichgewichte garantieren die Existenz von Lösungen in allen endlichen Spielen, sind aber nicht immer effizient (Hirschjagd) und nicht immer intuitiv interpretierbar. Drei Lesarten wurden unterschieden: bewusste Randomisierung, Populationsverteilung und unvollständige Information.

Teil 5 wird sich den dynamischen Spielen zuwenden: Was passiert, wenn Entscheidungen sequenziell erfolgen? Wie analysiert man Spiele, in denen ein Spieler auf die Züge des anderen reagieren kann? Die Rückwärtsinduktion wird als zentrales Lösungsverfahren eingeführt – und das Ultimatumspiel als Beispiel dafür, wie die Theorie und die empirische Realität auseinanderfallen können.

Quellen

Rieck, Christian: Spieltheorie: Eine Einführung. 17. Auflage. Eschborn: Christian Rieck Verlag, 2021. (Kapitel 5 zur gemischten Erweiterung.)
Goethe-Universität Frankfurt: „Vorlesung 2 – Gemischte Strategien“. Online: itp.uni-frankfurt.de (abgerufen am 30.10.2026). Formale Definition, Hirschjagd-Beispiel, Fundamental-Lemma .
Wikipedia: „Gemischte Strategie“. Online: de.wikipedia.org/wiki/Gemischte_Strategie (abgerufen am 30.10.2026). Definition, Matching Pennies, Parkraum-Beispiel, Existenzsatz .
Ludwig-Maximilians-Universität München: „Spieltheorie – Vorlesung Winter 2009/10″. Online: et.econ.uni-muenchen.de (abgerufen am 30.10.2026). Existenzsätze, Brouwer-Fixpunktsatz, beste Antwort-Korrespondenz .
Universität Hamburg: „Spieltheorie VL2″ (Vorlesungsvideo). Online: lecture2go.uni-hamburg.de (abgerufen am 30.10.2026). Interpretation gemischter Gleichgewichte, Populationen, Common Knowledge .
ScienceDirect: „Mixed Strategy – an overview“. Online: sciencedirect.com (abgerufen am 30.10.2026). Kritik der Randomisierungslesart, alternative Interpretationen .
Universität München: „Spieltheorie – Lektion 4: Gemischte Strategien“. Online: mathematik.uni-muenchen.de (abgerufen am 30.10.2026). Matching Pennies, Berechnungsbeispiel .

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