Die Aufklärung: Die Mathematik der Vernunft

Von DerSchneider

Einleitung

Das 18. Jahrhundert war das Zeitalter der Vernunft. Die Aufklärung, wie diese Epoche genannt wird, war geprägt von einem unerschütterlichen Glauben an die Macht des menschlichen Verstandes, die Geheimnisse der Natur zu entschlüsseln und die Gesellschaft auf vernünftige Grundlagen zu stellen. Die Mathematik spielte in diesem Projekt eine zentrale Rolle: Sie war das Vorbild für alle Wissenschaften, die Demonstration, dass es möglich ist, durch logisches Denken zu sicherem Wissen zu gelangen.

Die Mathematik der Aufklärung war keine Disziplin der einsamen Genies mehr. Sie war eine internationale Gemeinschaft, die in neu gegründeten Akademien – in Paris, Berlin, St. Petersburg und London – zusammenarbeitete. Die Mathematiker dieser Zeit waren Universalgelehrte, die gleichermaßen an Analysis, Mechanik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Zahlentheorie und Astronomie arbeiteten. Sie verbanden die abstrakte Theorie mit konkreten Anwendungen und schufen so die Grundlagen für die technische Revolution des 19. Jahrhunderts.

In dieser Epoche wurden die großen Themen der Mathematik systematisch entwickelt. Die Analysis erreichte ihre endgültige Form, die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde zur eigenständigen Disziplin, die Zahlentheorie erblühte, und die ersten Ansätze zur Topologie entstanden. Die Namen dieser Zeit – Newton, Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, Gauß – sind bis heute Synonyme für mathematische Größe.

Newtons Bewegungsgesetze: Die Mathematik der Natur

Isaac Newtons Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) war das einflussreichste wissenschaftliche Werk des 18. Jahrhunderts – vielleicht aller Zeiten. In diesem monumentalen Werk formulierte Newton die drei Bewegungsgesetze, die bis zur Relativitätstheorie Albert Einsteins die Grundlage der gesamten Physik bildeten.

Das erste Gesetz – das Trägheitsgesetz – besagt, dass ein Körper in Ruhe bleibt oder sich gleichförmig bewegt, solange keine Kraft auf ihn wirkt. Das zweite Gesetz – das Aktionsgesetz – besagt, dass die Beschleunigung eines Körpers proportional zur einwirkenden Kraft und umgekehrt proportional zu seiner Masse ist. Das dritte Gesetz – das Reaktionsgesetz – besagt, dass jede Aktion eine gleich große und entgegengesetzte Reaktion hervorruft. Diese drei Sätze, in der Sprache der Infinitesimalrechnung formuliert, erklären die Bewegung von Planeten ebenso wie den Fall eines Apfels.

Newtons Principia war nicht nur ein Triumph der Physik, sondern auch der Mathematik. Newton zeigte, dass die gleichen mathematischen Gesetze, die die Bewegung von Körpern auf der Erde beschreiben, auch die Bewegung der Himmelskörper regeln – eine Idee, die der antiken Vorstellung einer geteilten Welt widersprach. Der Himmel war nicht mehr der Ort der Götter, sondern ein Teil der natürlichen Ordnung, die durch Mathematik verstanden werden konnte.

Die Newtonsche Mechanik wurde zum Paradigma der Aufklärung. Sie zeigte, dass die Welt nach festen, mathematisch beschreibbaren Gesetzen funktioniert – eine Vorstellung, die von Philosophen wie Immanuel Kant aufgegriffen wurde. Die Mathematik war nicht mehr nur ein Werkzeug zur Beschreibung der Natur, sondern die Sprache, in der die Natur selbst geschrieben war.

Die Bernoullis: Eine Dynastie der Mathematik

Im 18. Jahrhundert war Basel das Zentrum der mathematischen Welt – und das lag vor allem an einer Familie: den Bernoullis. Jakob Bernoulli (1655–1705), sein Bruder Johann (1667–1748) und dessen Söhne Daniel (1700–1782) und Nikolaus (1695–1726) prägten die Mathematik der Aufklärung wie keine andere Familie.

Jakob Bernoulli ist vor allem für seine Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt. In Ars Conjectandi („Die Kunst des Vermutens“), posthum 1713 veröffentlicht, formulierte er das Gesetz der großen Zahlen: Die beobachtete relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert sich mit zunehmender Anzahl von Versuchen immer mehr seiner theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Dieses Gesetz ist die Grundlage der statistischen Inferenz – der Methode, aus Stichproben auf die Gesamtheit zu schließen. Es zeigt, dass der Zufall in der großen Zahl eine Ordnung offenbart.

Jakob Bernoulli entdeckte auch die eulersche Zahl $e$e, als er die Berechnung von Zinseszinsen untersuchte. Er fand, dass sich der Ausdruck $(1+1\mathrm{/}n{)}^n$(1+1/n)n für wachsendes $n$n einem festen Wert nähert – etwa 2,71828. Dieser Wert, später von Leonhard Euler als $e$e bezeichnet, ist eine der fundamentalsten Konstanten der Mathematik und taucht in unzähligen Zusammenhängen auf – von der Exponentialfunktion bis zur Normalverteilung.

Johann Bernoulli war einer der ersten, der die Infinitesimalrechnung von Leibniz verstand und verbreitete. Er lehrte sie seinem Sohn Daniel und – was noch wichtiger war – Leonhard Euler, der zum größten Mathematiker des 18. Jahrhunderts werden sollte. Daniel Bernoulli wiederum trug zur Hydrodynamik bei und fand die nach ihm benannte Gleichung, die den Fluss von Flüssigkeiten beschreibt. Die Bernoullis waren die Verkörperung der aufklärerischen Idee, dass Wissen nicht in der Isolation, sondern im Austausch entsteht.

Leonhard Euler: Der größte Mathematiker des 18. Jahrhunderts

Leonhard Euler (1707–1783) war der produktivste Mathematiker aller Zeiten. Er veröffentlichte über 850 Werke – Bücher, Artikel, Abhandlungen –, die praktisch jeden Bereich der Mathematik abdeckten. Seine Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie, Geometrie, Trigonometrie und Mechanik sind bis heute grundlegend. Euler war nicht nur ein Genie, sondern auch ein Meister der Darstellung: Seine Schriften sind klar, elegant und bis heute lesbar.

Eulers bedeutendste Entdeckung ist vielleicht die nach ihm benannte Identität: $e^{i\pi }+1=0$eiπ+1=0. Diese Gleichung verbindet die fünf wichtigsten mathematischen Konstanten – $e$e, $i$i, $\pi$π, 0 und 1 – in einer einzigen, einfachen Formel. Sie ist ein Beispiel für die Schönheit der Mathematik, die Euler zeitlebens faszinierte. Die Identität zeigt, dass die scheinbar getrennten Bereiche der Mathematik – Analysis, Algebra und Geometrie – tief miteinander verbunden sind.

Euler führte auch die Graphentheorie ein, als er 1736 das Problem der „Sieben Brücken von Königsberg“ löste. Die Stadt Königsberg (heute Kaliningrad) war durch den Fluss Pregel in vier Teile geteilt, die durch sieben Brücken verbunden waren. Euler fragte sich, ob es möglich sei, einen Weg zu finden, der jede Brücke genau einmal überquert. Er modellierte das Problem als Graphen – eine Menge von Knoten (den Landflächen) und Kanten (den Brücken) – und zeigte, dass ein solcher Weg unmöglich ist, weil vier der Knoten einen ungeraden Grad haben. Die Graphentheorie, die aus dieser einfachen Frage entstand, ist heute eine der wichtigsten Disziplinen der Mathematik und findet Anwendung in der Informatik, der Biologie, der Soziologie und der Logistik.

Euler arbeitete auch an der Zahlentheorie. Er bewies den kleinen fermatschen Satz und trug zur Lösung des Problems der Primzahlverteilung bei. Seine Arbeiten zur analytischen Zahlentheorie – der Verbindung von Analysis und Zahlentheorie – legten den Grundstein für die riemannsche Vermutung, die bis heute eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik ist.

Die Normalverteilung: Der Zufall wird berechenbar

Die Normalverteilung – die berühmte „Glockenkurve“ – ist eine der fundamentalsten Entdeckungen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie wurde im 18. Jahrhundert von Abraham de Moivre (1667–1754) und später von Carl Friedrich Gauß unabhängig voneinander entwickelt.

De Moivre, ein französischer Hugenotte, der nach England emigriert war, beschäftigte sich mit der Frage, wie sich die Ergebnisse von Glücksspielen verteilen. Er zeigte, dass die Binomialverteilung – die Verteilung der Ergebnisse bei einer Serie von Münzwürfen – für große $n$n durch eine glockenförmige Kurve approximiert wird. Diese Kurve, die wir heute als Normalverteilung kennen, beschreibt, dass die meisten Ergebnisse um den Mittelwert herum liegen und extreme Ergebnisse immer seltener werden.

Die Bedeutung der Normalverteilung reicht weit über das Glücksspiel hinaus. Sie beschreibt die Verteilung von Messfehlern, Körpergrößen, Intelligenzquotienten und unzähligen anderen Phänomenen. Sie ist die Grundlage der statistischen Inferenz und der Fehlerrechnung. Sie zeigt, dass der Zufall nicht willkürlich ist, sondern einer mathematischen Ordnung folgt – einer der zentralen Einsichten der Aufklärung.

Die Normalverteilung wurde im 19. Jahrhundert von Adolphe Quetelet und Francis Galton popularisiert, die sie zur Beschreibung sozialer Phänomene verwendeten. Sie wurde zum Symbol für die Vorstellung, dass auch der Mensch Teil einer natürlichen Ordnung ist, die durch Mathematik verstanden werden kann – eine Idee, die sowohl befruchtend als auch problematisch war.

Der Satz von Bayes: Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Thomas Bayes (1702–1761), ein englischer presbyterianischer Geistlicher und Mathematiker, entwickelte eine Methode zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten, die nach ihm benannt ist. Der Satz von Bayes, posthum 1763 veröffentlicht, erlaubt es, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung zu berechnen, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

Der Satz von Bayes ist ein Beispiel für die Macht der Mathematik im Umgang mit Unsicherheit. Er ermöglicht es, aus beobachteten Daten Rückschlüsse auf die zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten zu ziehen – eine Methode, die in der Statistik, der Ökonomie, der Medizin und der künstlichen Intelligenz von zentraler Bedeutung ist.

Bayes‘ Arbeit war ihrer Zeit weit voraus. Erst im 20. Jahrhundert, mit der Entwicklung der bayesschen Statistik, wurde ihre volle Bedeutung erkannt. Heute ist der Satz von Bayes die Grundlage für maschinelles Lernen, Spam-Filter, medizinische Diagnostik und viele andere Anwendungen. Er zeigt, dass die Mathematik des 18. Jahrhunderts nicht nur die Grundlagen für die Wissenschaften legte, sondern auch für die Technologien des 21. Jahrhunderts.

Die analytische Lösung von Gleichungen: Lagrange und die Gruppentheorie

Im 18. Jahrhundert beschäftigten sich Mathematiker intensiv mit der Frage, welche Gleichungen durch algebraische Methoden gelöst werden können. Die quadratischen, kubischen und quartischen Gleichungen waren bereits gelöst, aber die quintischen Gleichungen – Gleichungen mit einer Unbekannten in der fünften Potenz – widersetzten sich allen Versuchen.

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), ein in Turin geborener Mathematiker, der in Berlin und Paris arbeitete, entwickelte eine Methode, die später zur Gruppentheorie führen sollte. Er betrachtete die Permutationen der Nullstellen von Polynomen und zeigte, dass die Lösbarkeit einer Gleichung von der Struktur dieser Permutationen abhängt. Seine Arbeit war der Schlüssel zum Verständnis der Symmetrien, die der Algebra zugrunde liegen.

Lagrange war auch ein Pionier der analytischen Mechanik. Sein Werk Mécanique analytique (1788) formulierte die Gesetze der Mechanik in einer abstrakten, mathematischen Sprache, die von der Anschauung befreit war. Diese Methode, die als Lagrange-Formalismus bekannt ist, wurde zur Grundlage der modernen Physik und findet Anwendung in der Quantenmechanik und der Relativitätstheorie.

Der laplacesche Dämon: Determinismus und Grenzen

Pierre-Simon Laplace (1749–1827), einer der bedeutendsten Mathematiker der Aufklärung, formulierte in seinem Essai philosophique sur les probabilités (1814) ein Gedankenexperiment, das als „laplacescher Dämon“ bekannt wurde. Laplace stellte sich einen allwissenden Intellekt vor, der den genauen Zustand aller Atome im Universum kennt und daher die gesamte Zukunft vorhersagen kann.

Der laplacesche Dämon ist die ultimative Konsequenz des deterministischen Weltbildes der Aufklärung. Wenn die Natur nach festen, mathematisch beschreibbaren Gesetzen funktioniert, dann ist die Zukunft – zumindest prinzipiell – vorhersagbar. Diese Vorstellung hatte tiefgreifende philosophische Implikationen: Sie stellte die Existenz des freien Willens in Frage und führte zu einer materialistischen Sicht des Menschen.

Die Grenzen dieses Determinismus wurden bereits im 19. Jahrhundert deutlich. Die Thermodynamik führte den Begriff der Entropie ein – eine Größe, die nicht umkehrbar ist und die Vorhersagbarkeit der Zukunft in Frage stellt. Im 20. Jahrhundert wurde der Determinismus durch die Quantenmechanik endgültig abgelöst. Aber die Idee des laplaceschen Dämons bleibt ein faszinierendes Gedankenexperiment – ein Beispiel dafür, wie die Mathematik nicht nur die Welt beschreibt, sondern auch philosophische Fragen aufwirft.

Buffons Nadelexperiment: Pi durch Zufall

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707–1788), war ein französischer Naturforscher und Mathematiker, der ein bemerkenswertes Experiment durchführte: Er warf eine Nadel auf einen Boden mit parallelen Linien und zählte, wie oft sie eine Linie kreuzte. Aus dem Anteil der Kreuzungen berechnete er eine Näherung für $\pi$π.

Das Buffonsche Nadelexperiment ist ein frühes Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation – eine Methode, die heutzutage in der Physik, der Finanzmathematik und der Informatik weit verbreitet ist. Es zeigt, dass man durch wiederholte Zufallsexperimente mathematische Konstanten bestimmen kann – eine Idee, die der deterministischen Mathematik der Antike fremd war.

Die Monte-Carlo-Methode wurde im 20. Jahrhundert von Stanislaw Ulam während der Arbeiten am Manhattan-Projekt entwickelt und ist heute ein unverzichtbares Werkzeug der Wissenschaft. Buffons Nadelexperiment war der erste Schritt auf diesem Weg – ein Beispiel dafür, wie die Mathematik der Aufklärung nicht nur die Welt beschreibt, sondern auch die Methoden zur Erforschung der Welt bereitstellt.

Fazit: Die Mathematik der Vernunft

Die Aufklärung war die Blütezeit der mathematischen Vernunft. In dieser Epoche wurden die großen Themen der Mathematik systematisch entwickelt: Die Analysis erreichte ihre endgültige Form, die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde zur eigenständigen Disziplin, die Zahlentheorie erblühte, und die ersten Ansätze zur Topologie entstanden. Die Mathematik war nicht mehr nur eine Werkzeug, sondern eine Weltanschauung – der Beweis dafür, dass die Welt durch Vernunft verstanden werden kann.

Die Mathematiker der Aufklärung waren die Helden ihrer Zeit. Sie wurden von Fürsten und Königen gefördert, in Akademien geehrt und als Weise verehrt. Ihr Glaube an die Macht der Vernunft prägte nicht nur die Wissenschaft, sondern auch die Politik und die Gesellschaft. Die amerikanische und die französische Revolution, die Erklärung der Menschenrechte – all dies wurde von der Idee getragen, dass die Welt nicht durch Offenbarung, sondern durch Vernunft geordnet werden kann.

Die Mathematik der Aufklärung war nicht nur eine Wissenschaft, sondern ein Projekt: das Projekt der Aufklärung selbst. Sie zeigte, dass es möglich ist, durch logisches Denken zu sicherem Wissen zu gelangen – und dass dieses Wissen die Grundlage für eine bessere Welt sein kann. Diese Überzeugung hat bis heute nichts von ihrer Kraft verloren.

Quellen

• Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)
• Jakob Bernoulli: Ars Conjectandi (1713)
• Abraham de Moivre: The Doctrine of Chances (1718)
• Leonhard Euler: Introductio in Analysin Infinitorum (1748)
• Thomas Bayes: An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763)
• Joseph-Louis Lagrange: Réflexions sur la résolution algébrique (1771)
• Pierre-Simon Laplace: Essai philosophique sur les probabilités (1814)
• Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon: Essai d’arithmétique morale (1777)
• Carl Friedrich Gauß: Theoria motus corporum coelestium (1809)
• Peter L. Bernstein: Against the Gods: The Remarkable Story of Risk (1996)
• Stephen Stigler: The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900 (1986)
• William Dunham: Euler: The Master of Us All (1999)