Die Gleichung ohne Zeit – Die Wheeler-DeWitt-Gleichung und das Problem der Zeit

Autor: DerSchneider

Einleitung

Im Jahr 1967 veröffentlichte der Physiker Bryce DeWitt eine Gleichung, die er zunächst „Einstein-Schrödinger-Gleichung“ nannte – sie wurde später als Wheeler-DeWitt-Gleichung bekannt, benannt nach ihm und John Archibald Wheeler, der die grundlegenden Ideen dazu entwickelt hatte . Es war der ambitionierteste Versuch der Wissenschaftsgeschichte: eine Gleichung, die die Quantenmechanik mit der Allgemeinen Relativitätstheorie vereinen und den Quantenzustand des gesamten Universums beschreiben sollte .

Das Ergebnis war ebenso revolutionär wie verstörend: Die Wheeler-DeWitt-Gleichung enthält keinerlei Zeitvariable. Die Zeit, das universellste Merkmal der menschlichen Erfahrung, das Ding, das Physik überhaupt erst möglich macht, fehlt in der Gleichung, die die physische Realität auf ihrer fundamentalsten Ebene beschreiben soll .

Von der Schrödinger-Gleichung zur Wheeler-DeWitt-Gleichung

Um die Bedeutung dieser Gleichung zu verstehen, muss man einen Schritt zurückgehen. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung der Quantentheorie beschreibt die Dynamik der Wellenfunktion – also deren zeitliche Entwicklung. Lösungen dieser Gleichung verraten den Zustand eines Quantensystems zu einem bestimmten Zeitpunkt t und an einem bestimmten Ort .

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist das relativistische Pendant dazu. Um sie zu formulieren, muss die Raumzeit in raumartige Hyperflächen „geblättert“ werden – eine Technik, die als ADM-Formalismus (nach Arnowitt, Deser und Misner) bekannt ist . Diese Blätterung zeichnet bestimmte raumartige Hyperflächen aus, deren Abfolge den Ablauf der Zeit darstellt: Von einer Hyperfläche zur nächsten ändert sich der kanonische Zeitparameter .

Im Hamiltonschen Formalismus berechnet man nun die generalisierten kanonischen Impulse und die kanonisch konjugierte Variable aus den Ableitungen der Lagrange-Dichte. Integration liefert schließlich die Hamilton-Funktion – den wesentlichen Operator der Wheeler-DeWitt-Gleichung . Die Gleichung ähnelt formal der stationären Schrödinger-Gleichung (zum Energieeigenwert null). Die Wellenfunktion wird nun allerdings als die „Wellenfunktion des Universums“ bezeichnet und ist auf einem unendlich-dimensionalen „Superraum“ der Raumzeit-Geometrien und aller Materiefelder definiert .

Das Problem der Zeit

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist in ihrer fundamentalen Formulierung unabhängig vom Parameter Zeit . Es gibt zwar einen Zeitparameter, der die Blätterung der Raumzeit in Hyperflächen bestimmt. Die Blätterung ist jedoch vollkommen willkürlich – daher ist auch der resultierende Zeitbegriff nicht eindeutig . Es muss nun untersucht werden, ob die Quantentheorien verschiedener Blätterungen („Eichungen“) unitär äquivalent sind. Träfe dies zu, wäre die gewählte Blätterung irrelevant. Erst spezielle Lösungen der Gleichung – wenn man den lokalen Beobachter wieder einführen muss – leiten wieder auf einen Ordnungsparameter, den man mit der Zeit identifizieren kann .

Die Physik kann also die Zeit beschreiben, aber auf der fundamentalsten Ebene der Realität scheint sie zu verschwinden. Die Wheeler-DeWitt-Gleichung wirft damit das sogenannte „Problem der Zeit“ auf: Warum erleben wir Zeit als etwas so Reales und Offensichtliches, wenn sie in der fundamentalen Beschreibung des Universums nicht vorkommt ?

Randbedingungen für das Universum

An diese hyperbolische partielle Differentialgleichung müssen Randbedingungen gestellt werden. Zwei Ansätze haben dabei besondere Bekanntheit erlangt :

1. Vilenkin und Linde leiteten eine Analogie zum quantenmechanischen Tunneleffekt ab, das man „Quantentunneln aus dem (bzw. in das) Nichts“ nannte. Ein Wahrscheinlichkeitsstrom fließt aus dem (bzw. in den) Superraum hinaus .
2. Hartle und Hawking gaben die sogenannte „No-Boundary-Condition“ an. Hier ist der Rand der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit de facto immer derselbe. Das Problem dieses Zugangs über Pfadintegrale liegt darin, dass die Wellenfunktion des Universums dann nicht eindeutig festgelegt werden kann, weil eine Auswertung des Pfadintegrals in der komplexen Ebene zu verschiedenen Ergebnissen führt, je nachdem welchem Integrationsweg man folgt .

Baby-Universen und die Vernichtung von Kosmen

In der Quantenkosmologie gibt es auch den vertrauten Apparat der kanonischen Quantisierung. So kann man Vielteilchenzustände, „Baby-Universen“ genannt, aus Vakuumzuständen durch Anwendung von Erzeugungsoperatoren erzeugen . Allerdings wird die zugehörige Wheeler-DeWitt-Gleichung noch komplexer und sogar nicht-linear, weil Wechselwirkungen zwischen diesen Zuständen berücksichtigt werden müssen .

Die quantenmechanische Teilchenerzeugung und -vernichtung entspricht in dieser Anwendung auf den Kosmos der Erzeugung und Vernichtung von Universen ! Der erkenntnistheoretische Inhalt dieser Theorie ist immens. Sie legt nahe, dass unser Universum vielleicht nicht das einzige ist, sondern dass andere Universen – Baby-Universen – aus Quantenfluktuationen entstehen und wieder verschwinden können.

Die Stringtheorie und die Wheeler-DeWitt-Gleichung

Alle definierten und verstandenen Beschreibungen der Stringtheorie befassen sich mit festen asymptotischen Bedingungen auf der Hintergrundraumzeit . In der Unendlichkeit ist die „richtige“ Wahl der Zeitkoordinate in jeder Beschreibung bestimmt, weil asymptotisch eine bestimmte Raumzeit existiert, sodass es eine bevorzugte Definition des Hamiltonians mit Eigenwerten ungleich Null gibt, um Zustände des Systems in der korrekten Zeitrichtung zu entwickeln . Dadurch wird vermieden, dass dynamisch eine Zeitdimension mit der Wheeler-DeWitt-Gleichung generiert werden muss. Die Wheeler-DeWitt-Gleichung wurde in der Stringtheorie deshalb bisher nicht verwendet .

Dennoch glauben einige Experten, dass diese Gleichung immer noch das Potenzial zum Verständnis einer Quantengravitation birgt. Jahrzehnte nach der Veröffentlichung der Gleichung haben jedoch völlig unterschiedliche Ansätze, wie die Stringtheorie, Physikern ebenso gute Ergebnisse über eine Quantengravitation generiert .

Die Interpretation: Zeit als Illusion?

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist eine der stärksten Stützen für die radikale These, dass Zeit eine Illusion sein könnte . Sowohl Einsteins Relativitätstheorie als auch spekulative Vorschläge für eine „Weltformel“ legen diese irritierende Schlussfolgerung nahe . Die Zeit, die uns so vertraut und manchmal quälend erscheint, könnte in Wirklichkeit gar nicht existieren .

Der Philosoph und Physiker Vesselin Petkov von der Concordia University in Montreal formuliert es so: „Das zu erkennen, ist vielleicht die größte intellektuelle Herausforderung, mit der die Menschheit jemals konfrontiert wurde“ . Die Wheeler-DeWitt-Gleichung liefert die mathematische Untermauerung für diese radikale Neuinterpretation der Realität .

Das ungelöste Rätsel

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist mathematisch nicht vollständig wohldefiniert und hat in der Stringtheorie keine Anwendung gefunden . Das Problem der Zeit bleibt ungelöst. Warum erleben wir Zeit als einen kontinuierlichen Fluss von der Vergangenheit in die Zukunft, wenn sie auf der fundamentalsten Ebene der Realität nicht existiert? Wie entsteht die Zeit aus einer zeitlosen Quantenbeschreibung des Universums?

Der Page-Wootters-Mechanismus, den wir im nächsten Artikel betrachten werden, bietet einen möglichen Ausweg: Die Zeit könnte eine emergente Eigenschaft sein – etwas, das aus der Quantenverschränkung zwischen verschiedenen Subsystemen innerhalb des Universums entsteht. Bis dahin bleibt die Wheeler-DeWitt-Gleichung eines der rätselhaftesten und zugleich faszinierendsten Konstrukte der modernen Physik – eine Gleichung, die das Universum beschreibt, ohne die Zeit, die wir darin erleben.

Quellen:

1. Spektrum der Wissenschaft: Lexikon der Astronomie – Wheeler-DeWitt-Gleichung. https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/wheeler-dewitt-gleichung/529 
2. Wikipedia: Wheeler-DeWitt-Gleichung. https://de.wikipedia.org/wiki/Wheeler-DeWitt-Gleichung 
3. CERN: Wheeler-DeWitt approach (PDF-Präsentation). https://indico.cern.ch/event/438475/contributions/1091015/attachments/1151262/1652773/INFL-Tue-KRAEMER-Manuel-0074.pdf 
4. FOCUS online: „Zeit ist nur eine Illusion“. https://www.focus.de/wissen/bild-der-wissenschaft/zeit-ist-nur-eine-illusion-physik_id_2496365.html