Einführung in die Spieltheorie (Teil 2): Strategien, Auszahlungen und die Kunst der Darstellung

Von DerSchneider

Einstieg: Die Verabredung, die schiefgeht

Zwei Freunde wollen sich in einer fremden Stadt treffen. Sie haben vereinbart, „am Hauptbahnhof“ zu warten. Doch der Hauptbahnhof hat zwei Ausgänge: Nord und Süd. Beide müssen gleichzeitig entscheiden, welchen Ausgang sie wählen. Wenn sie am selben Ausgang warten, treffen sie sich und verbringen einen schönen Abend (Auszahlung: 10 für beide). Wenn sie an verschiedenen Ausgängen warten, verbringen sie den Abend allein (Auszahlung: 0 für beide).

Was ist hier die „richtige“ Entscheidung? Die Antwort hängt davon ab, was der andere tut. Und genau das macht die Situation zu einem Spiel im spieltheoretischen Sinne. Teil 1 dieser Serie hat gezeigt, was ein Spiel ist und warum das Gefangenendilemma zum Paradigma wurde. Teil 2 vertieft nun die formale Darstellung: Wie beschreibt man ein Spiel so, dass man es analysieren kann? Und welche Darstellungsformen gibt es – und wann verwendet man welche?

Die Normalform: Das Spiel als Matrix

Die Normalform (auch strategische Form) ist die kompakteste Darstellung eines Spiels. Sie listet für jeden Spieler seine reinen Strategien auf und ordnet jeder Kombination von Strategien die resultierenden Auszahlungen zu .

Formal besteht ein Spiel in Normalform aus drei Elementen: der Menge der Spieler $N=\{1,\dots ,n\}$N={1,…,n}, der Strategiemenge jedes Spielers $S_i$Si​ und der Auszahlungsfunktion $u_i$ui​, die jeder Strategiekombination $s=(s_1,\dots ,s_n)$s=(s1​,…,sn​) einen Nutzenwert für Spieler $i$i zuordnet .

Für das Verabredungsspiel mit zwei Spielern und je zwei Strategien („Nord“, „Süd“) ergibt sich folgende Matrix:

Die Matrix macht auf einen Blick sichtbar, was die Situation ausmacht: Es gibt zwei Kombinationen, die beide Spieler besser stellen als die beiden anderen – (Nord, Nord) und (Süd, Süd). Die Spieler müssen „koordinieren“, aber es gibt kein eindeutiges Gleichgewicht. Dies ist ein Koordinationsspiel, und es unterscheidet sich strukturell vom Gefangenendilemma, in dem eine dominante Strategie das Ergebnis eindeutig bestimmt.

Die Normalform eignet sich besonders für Spiele, in denen die Spieler gleichzeitig entscheiden oder in denen die zeitliche Abfolge für das Ergebnis keine Rolle spielt. Sie „unterdrückt alle dynamischen Aspekte des Entscheidungsproblems“ . Wer nur an den stabilen Endzuständen interessiert ist, nicht am Weg dorthin, ist mit der Normalform gut bedient.

Die Extensivform: Das Spiel als Baum

Sobald die zeitliche Abfolge von Entscheidungen relevant wird – wenn ein Spieler handelt, der andere darauf reagiert, und dieser wiederum darauf –, stößt die Normalform an ihre Grenzen. Hier kommt die Extensivform ins Spiel, die das Spiel als Spielbaum darstellt .

Ein Spielbaum besteht aus Knoten (Entscheidungspunkten) und Kanten (Zügen). Die Wurzel ist der Anfang des Spiels. Von jedem Entscheidungsknoten gehen Kanten zu den möglichen Zügen des Spielers, der dort am Zug ist. Die Endknoten (Blätter) tragen die Auszahlungen für alle Spieler. Zusätzlich gibt es Informationsmengen: Knoten, die ein Spieler nicht voneinander unterscheiden kann, werden zusammengefasst .

Ein einfaches Beispiel: Stellen Sie sich ein Ultimatumspiel vor. Spieler A erhält 10 Euro und muss entscheiden, wie viel er an Spieler B abgibt – sagen wir, 0 oder 5 Euro. Spieler B kann das Angebot annehmen oder ablehnen. Bei Ablehnung erhalten beide nichts.

Der Spielbaum:

text

        A
       / \
     (0) (5)
     /     \
    B       B
   / \     / \
  A   R   A   R
(0,0)(10,0)(5,5)(0,0)

(A = Annehmen, R = Ablehnen; Auszahlungen: (A, B))

Die Extensivform zeigt explizit, wer wann welche Information hat und in welcher Reihenfolge entschieden wird. Sie ist die natürliche Darstellung für dynamische Spiele, für Verhandlungen, für Spiele mit sequenziellen Zügen . Die Kehrseite: Spielbäume werden schnell unübersichtlich. Ein Schachspiel hat mehr mögliche Verläufe als Atome im beobachtbaren Universum – als Baum ist es nicht darstellbar.

Vom Baum zur Matrix: Die Äquivalenz der Darstellungen

Ein wichtiger Punkt, der oft übersehen wird: Jedes Spiel in Extensivform lässt sich prinzipiell in eine Normalform übersetzen. Man muss nur für jeden Spieler alle möglichen vollständigen Strategien auflisten – also Pläne, die für jeden Entscheidungsknoten festlegen, was zu tun ist. Die Auszahlungen der Normalform sind dann die erwarteten Auszahlungen über alle möglichen Spielverläufe, die sich aus der Strategiekombination ergeben .

Diese Äquivalenz ist theoretisch bedeutsam: Sie zeigt, dass die Normalform der allgemeinere Rahmen ist. Praktisch ist sie oft wenig hilfreich, weil die Anzahl der reinen Strategien in der Normalform exponentiell mit der Tiefe des Spielbaums wächst. Ein Spiel mit zehn Zügen und je zwei Optionen hat $2^{10}=1024$210=1024 reine Strategien pro Spieler – als Matrix unhandlich, als Baum überschaubar.

Die Wahl der Darstellung ist daher keine Geschmacksfrage, sondern eine Frage der Zweckmäßigkeit. Für die Analyse von Gleichgewichten in statischen Spielen: Normalform. Für die Analyse von sequenziellen Entscheidungen und Informationsproblemen: Extensivform.

Reine und gemischte Strategien: Eine erste Unterscheidung

Teil 1 hat den Strategiebegriff eingeführt: eine vollständige Handlungsanweisung für alle denkbaren Situationen. Nun ist eine Verfeinerung nötig, die für alles Weitere zentral ist.

Eine reine Strategie legt fest, welche Aktion ein Spieler in jeder möglichen Situation wählt – ohne Zufall, ohne Abweichung. „Immer Nord“ ist eine reine Strategie im Verabredungsspiel. „Immer gestehen“ ist eine reine Strategie im Gefangenendilemma.

Eine gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über den reinen Strategien. Statt „immer Nord“ wählt der Spieler „Nord mit Wahrscheinlichkeit $p$p und Süd mit Wahrscheinlichkeit $1-p$1−p„. Gemischte Strategien sind nicht dasselbe wie „Unsicherheit über das Verhalten des anderen“ – sie sind eine bewusste Randomisierung durch den Spieler selbst.

Warum sollte jemand freiwillig randomisieren? Die Antwort ist nicht offensichtlich und wird in Teil 4 ausführlich behandelt. Für den Moment genügt die Feststellung: In Spielen wie Schere-Stein-Papier gibt es kein Gleichgewicht in reinen Strategien – jede feste Wahl kann vom Gegner ausgebeutet werden. Erst die Randomisierung schafft eine stabile Situation. Die gemischte Strategie ist daher keine Verlegenheitslösung, sondern in bestimmten Spielen die einzige rationale Wahl.

Das Verabredungsspiel: Koordination ohne Kommunikation

Kehren wir zum Einstieg zurück. Das Verabredungsspiel ist lehrreich, weil es zeigt, dass Spiele nicht immer Konflikte sind. Manchmal haben die Spieler gemeinsame Interessen – beide wollen sich treffen –, aber es fehlt die Möglichkeit, sich abzustimmen.

In der Matrix gibt es zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (Nord, Nord) und (Süd, Süd). Keiner kann sich durch einseitige Abweichung verbessern, wenn beide am selben Ort sind. Aber welches ist das „richtige“? Die Spieltheorie allein kann diese Frage nicht beantworten. Sie sagt nur: Beide sind stabil. Die Auswahl hängt von Faktoren ab, die außerhalb des formalen Modells liegen – von Konventionen, von Signalen, von der „Prominenz“ eines Ortes (Schelling-Punkt).

Dies ist eine wichtige Lektion: Die Spieltheorie liefert nicht immer eine eindeutige Antwort. Sie liefert eine Menge von Gleichgewichten, und die Auswahl unter ihnen ist oft eine Frage der Interpretation, der empirischen Beobachtung oder der institutionellen Gestaltung. Wer erwartet, dass die Spieltheorie „die Lösung“ eines Problems ausspuckt, wird enttäuscht. Wer versteht, dass sie den Raum der Möglichkeiten strukturiert, gewinnt.

Anwendung: Ein Oligopol als Spiel

Betrachten wir ein wirtschaftliches Beispiel, das die Nützlichkeit der Normalform zeigt. Zwei Firmen konkurrieren auf einem Markt. Jede kann einen hohen oder einen niedrigen Preis wählen. Die Gewinne (in Millionen) seien:

Was ist hier die Logik? Wenn A einen hohen Preis wählt, ist es für B besser, einen niedrigen zu wählen (15 statt 10). Wenn A einen niedrigen Preis wählt, ist es für B ebenfalls besser, einen niedrigen zu wählen (5 statt 2). „Niedriger Preis“ ist also für B eine dominante Strategie. Für A gilt dasselbe. Das Ergebnis: Beide wählen einen niedrigen Preis, beide erhalten 5 – obwohl beide mit hohen Preisen 10 erhalten könnten.

Dies ist das Gefangenendilemma in Oligopolform. Der Wettbewerb zwingt die Firmen zu einem Verhalten, das ihre gemeinsamen Gewinne schmälert. Die Matrix macht die Struktur sichtbar; die Analyse zeigt, warum Kooperation (hohe Preise) nicht stabil ist, solange keine bindenden Absprachen möglich sind.

Die Grenzen der formalen Darstellung

Zwei Einschränkungen verdienen Beachtung. Erstens: Die Normalform unterstellt, dass die Spieler die Auszahlungen aller Beteiligten kennen – oder zumindest, dass diese „objektiv“ feststehen. In vielen realen Situationen sind die Präferenzen des Gegenübers jedoch unbekannt oder veränderlich. Spiele mit unvollständiger Information (Teil 7) erfordern eine andere Darstellung, die sogenannte Bayessche Form.

Zweitens: Beide Darstellungen gehen von vollständiger Rationalität aus – die Spieler maximieren ihren Nutzen, kennen die Regeln und ziehen die Konsequenzen korrekt. Die evolutionäre Spieltheorie (Teil 8) lockert diese Annahme und fragt, welche Verhaltensmuster sich durchsetzen, wenn die Akteure nicht rational kalkulieren, sondern einfach diejenigen sind, die überleben.

Zusammenfassung und Ausblick

Teil 2 hat das Handwerkszeug geliefert, um Spiele präzise zu beschreiben. Die Normalform (Matrix) eignet sich für statische Spiele und Gleichgewichtsanalysen; die Extensivform (Spielbaum) für sequenzielle Entscheidungen und Informationsprobleme. Beide sind äquivalent, aber unterschiedlich zweckmäßig. Der Unterschied zwischen reinen und gemischten Strategien wurde eingeführt und als grundlegend für das Verständnis von Gleichgewichten markiert.

Teil 3 wird das zentrale Lösungskonzept der Spieltheorie behandeln: das Nash-Gleichgewicht. Was genau ist ein Nash-Gleichgewicht? Warum ist es ein sinnvolles Kriterium für Stabilität? Und wo stößt es an seine Grenzen? Das Gefangenendilemma aus Teil 1 und das Koordinationsspiel aus Teil 2 werden dabei als Referenzpunkte wiederkehren.

Quellen

• Rieck, Christian: Spieltheorie: Eine Einführung. 17. Auflage. Eschborn: Christian Rieck Verlag, 2021. (Kapitel 3 und 4 zur Normal- und Extensivform.)
• Leininger, Wolfgang: Spieltheorie-Skript. Goethe-Universität Frankfurt, Institut für Informatik. Online: itp.uni-frankfurt.de (abgerufen am 30.10.2026). Formale Definition der Extensivform, Informationsmengen, Teilspiele, perfekte Erinnerung ; Normalform und erwartete Auszahlungen .
• Wikipedia: „Extensivform eines Spiels“. Online: de.wikipedia.org/wiki/Extensivform_eines_Spiels (abgerufen am 30.10.2026). Spielbaum, Informationsmengen, Zufallszüge .
• Basar, Tamer / Olsder, Geert Jan: Dynamic Noncooperative Game Theory. 2. Auflage. Philadelphia: SIAM, 1999. Kapitel 2: Normal- und Extensivform, statische vs. dynamische Information .
• Institut für Informatik, Universität Freiburg: Spieltheorie – Extensive Spiele mit perfekter Information. Vorlesungsskript, 2004. Online: gki.informatik.uni-freiburg.de (abgerufen am 30.10.2026). Definition extensiver Spiele, Historien, Strategiebegriff .
• KTH Royal Institute of Technology: Lecture 7: Examples – Pure Price Competition (Bertrand Duopoly). Online: math.kth.se (abgerufen am 30.10.2026). Normalform des Bertrand-Duopols .