Einführung in die Spieltheorie (Teil 7): Unvollständige Information – Wenn man das Gegenüber nicht kennt

Von DerSchneider

Einstieg: Der Gebrauchtwagen, der die Märkte austrocknet

Stellen Sie sich vor, Sie wollen ein gebrauchtes Auto kaufen. Der Verkäufer weiß, ob das Fahrzeug ein zuverlässiger Begleiter oder eine reparaturanfällige „Zitrone“ ist. Sie als Käufer können das nicht mit Sicherheit feststellen – jedenfalls nicht vor dem Kauf. Was passiert in einem solchen Markt?

George Akerlof hat diese Frage 1970 in einem Aufsatz mit dem Titel „The Market for Lemons“ untersucht, der zu den meistzitierten Arbeiten der Wirtschaftswissenschaften gehört. Seine Antwort war ebenso einfach wie ernüchternd: Wenn Käufer die Qualität nicht unterscheiden können, sind sie nur bereit, einen Preis zu zahlen, der der durchschnittlichen Qualität entspricht. Für den Besitzer eines hochwertigen Wagens ist dieser Preis zu niedrig – er zieht sich vom Markt zurück. Dadurch sinkt die Durchschnittsqualität der angebotenen Fahrzeuge, der Preis fällt weiter, und immer mehr gute Autos verschwinden. Im Extremfall bricht der Markt zusammen oder es werden nur noch „Zitronen“ gehandelt .

Dies ist das Grundproblem der unvollständigen Information: Die Spieler kennen nicht alle relevanten Merkmale des Gegenübers oder der Situation. Teil 5 und 6 haben Spiele mit vollständiger Information behandelt – dort wussten alle Beteiligten, welche Auszahlungen möglich sind. Teil 7 lockert diese Annahme und führt das zentrale Lösungskonzept ein, das John Harsanyi für solche Situationen entwickelt hat: das Bayessche Spiel und das Bayessche Nash-Gleichgewicht.

Was „unvollständige Information“ bedeutet

Die Spieltheorie unterscheidet präzise zwischen zwei Formen fehlender Information. Imperfekte Information liegt vor, wenn ein Spieler nicht weiß, welche Züge zuvor gemacht wurden – etwa im Schach, wenn man die Eröffnung des Gegners nicht kennt, oder bei Kartenspielen, bei denen man die Karten der anderen nicht sieht. Unvollständige Information hingegen liegt vor, wenn ein Spieler die Eigenschaften oder Auszahlungen der anderen nicht kennt: ob der Verhandlungspartner geduldig oder ungeduldig ist, ob ein Kreditnehmer kreditwürdig oder riskant ist, ob ein Gebrauchtwagen gut oder schlecht ist .

Harsanyi zeigte 1967/68, wie man solche Situationen in ein Standardspiel übersetzen kann. Die Idee: Die Natur wählt zu Beginn des Spiels einen Typ für jeden Spieler – etwa „kreditwürdig“ oder „riskant“ – nach einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die allen bekannt ist. Jeder Spieler kennt seinen eigenen Typ, aber nicht den der anderen. Die Auszahlungen hängen vom Typ ab. Damit wird aus einem Spiel mit unvollständiger Information ein Spiel mit unvollständiger, aber vollständiger Information über die Wahrscheinlichkeiten – ein Bayessches Spiel .

Formal besteht ein Bayessches Spiel aus: der Menge der möglichen Typen jedes Spielers, der Common-Prior-Wahrscheinlichkeitsverteilung über diese Typen, den Strategiemengen (die nun vom Typ abhängen können) und den Auszahlungsfunktionen, die vom Typprofil abhängen .

Das Bayessche Nash-Gleichgewicht

Das Lösungskonzept für Bayessche Spiele ist eine Verallgemeinerung des Nash-Gleichgewichts. Ein Bayessches Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination, bei der kein Spieler seine erwartete Auszahlung durch einen Strategiewechsel verbessern kann – gegeben seine Überzeugungen über die Typen der anderen und gegeben deren Strategien .

Der entscheidende Unterschied zum Standard-Nash-Gleichgewicht: Der Spieler maximiert nicht seine tatsächliche Auszahlung, sondern seinen Erwartungsnutzen über die möglichen Typen des Gegenübers. Er weiß nicht, mit wem er es zu tun hat, aber er hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darüber – und diese Verteilung ist Teil des Gleichgewichts.

Ein einfaches Beispiel aus der Wikipedia veranschaulicht das. Zwei Arbeitskollegen planen ihre Freizeit (Kino oder Schwimmbad). Spieler 1 mag Kino lieber, Spieler 2 Schwimmbad. Beide sind lieber mit einem Freund zusammen als allein. Aber Spieler 2 weiß nicht, ob Spieler 1 ihn als Freund oder Feind betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit für „Freund“ und „Feind“ ist jeweils 1/2 und Common Knowledge. Es gibt zwei Bayessche Nash-Gleichgewichte: In einem geht Spieler 1 (als Freund) ins Kino und (als Feind) ins Schwimmbad, während Spieler 2 ins Kino geht; im anderen ist es umgekehrt .

Auktionen: Ein Kernthema unvollständiger Information

Auktionen sind das vielleicht wichtigste Anwendungsfeld der Bayesschen Spieltheorie. Der Grund: Jeder Bieter kennt seine eigene Wertschätzung für das Objekt, aber nicht die der anderen. Die Auktionsform bestimmt, welche Strategien rational sind und welchen Erlös der Verkäufer erwarten kann.

Zwei Grundformen sind zu unterscheiden. Bei der Erstpreisauktion zahlt der Höchstbietende sein Gebot. Bei der Zweitpreisauktion (Vickrey-Auktion) zahlt der Höchstbietende den zweithöchsten Betrag. Der Unterschied ist strategisch bedeutsam: In der Zweitpreisauktion ist es eine dominante Strategie, die eigene wahre Wertschätzung zu bieten – denn der eigene Gebotsbetrag bestimmt nur, ob man gewinnt, nicht was man zahlt. In der Erstpreisauktion hingegen muss man „unterbieten“, um nicht den gesamten Gewinn an den Verkäufer abzugeben .

Das Revenue-Equivalence-Theorem (Myerson 1981) besagt, dass unter bestimmten Bedingungen – risikoneutrale Bieter, unabhängige und identisch verteilte Wertschätzungen, freiwillige Teilnahme, Zuschlag an den Höchstbietenden – alle Auktionsformen dem Verkäufer denselben erwarteten Erlös bringen . Das ist ein überraschendes Ergebnis: Die Auktionsform scheint für den Verkäufer keine Rolle zu spielen. In der Praxis gibt es jedoch Abweichungen, etwa wenn Bieter risikoscheu sind oder wenn die Bedingungen nicht erfüllt sind (Mindestgebote, mehrere Güter, correlated values).

Das Lemons-Modell: Marktversagen durch asymmetrische Information

Akerlofs Lemons-Modell ist das klassische Beispiel für Marktversagen durch unvollständige Information. Die Logik lässt sich in drei Schritten rekonstruieren. Erstens: Verkäufer kennen die Qualität ihrer Ware, Käufer nicht. Zweitens: Käufer sind nur bereit, einen Preis zu zahlen, der der erwarteten Durchschnittsqualität entspricht. Drittens: Bei diesem Preis lohnt es sich für Verkäufer hoher Qualität nicht zu verkaufen – sie ziehen sich zurück, die Durchschnittsqualität sinkt, der Preis fällt weiter .

Das Ergebnis ist eine Adverse Selektion: Der Markt selektiert die schlechten Qualitäten, weil die guten nicht zu einem Preis angeboten werden, der ihre Qualität widerspiegelt. In der Realität wird der Gebrauchtwagenmarkt nicht vollständig zusammenbrechen, weil es institutionelle Gegenkräfte gibt: Garantien, Zertifizierungen, Reputation von Händlern, Leasing-Rückläufer mit bekannter Historie. Aber das Grundproblem bleibt bestehen und erklärt, warum Gebrauchtwagen einen erheblichen Preisabschlag gegenüber vergleichbaren Neuwagen haben .

Signale und Screening: Wie man mit unvollständiger Information umgeht

Wenn Information asymmetrisch ist, haben die besser informierten Spieler einen Anreiz, ihre Information glaubwürdig zu signalisieren. Michael Spence zeigte, dass ein Signal nur dann glaubwürdig ist, wenn es für den „guten“ Typ weniger kostspielig ist als für den „schlechten“. Ein Bildungsabschluss ist ein solches Signal: Wenn fähige Menschen ihn leichter erwerben können als weniger fähige, dann signalisiert der Abschluss Fähigkeit – auch wenn er nichts zur Produktivität beiträgt .

Die andere Seite ist das Screening: Der schlechter informierte Spieler versucht, die Information durch die Gestaltung von Verträgen oder Mechanismen zu offenbaren. Eine Versicherung kann Selbstbeteiligungen anbieten: Wer eine hohe Selbstbeteiligung wählt, signalisiert, dass er sich für risikoarm hält. Wer eine niedrige wählt, offenbart ein höheres Risiko – und zahlt eine höhere Prämie .

Die Grenzen der Bayesschen Spieltheorie

Drei Einschränkungen verdienen Beachtung. Erstens: Die Common-Prior-Annahme ist stark. Sie setzt voraus, dass alle Spieler dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Typen haben. In der Realität haben Menschen unterschiedliche Überzeugungen, und diese Überzeugungen können selbst Gegenstand strategischer Manipulation sein. Zweitens: Die Berechnung Bayesscher Gleichgewichte ist oft komplex, besonders bei vielen Typen und unvollständiger Information auf beiden Seiten. Drittens: Die Theorie sagt oft mehrere Gleichgewichte voraus, und die Auswahl unter ihnen ist nicht immer eindeutig – ähnlich wie beim Standard-Nash-Gleichgewicht, aber potenziell gravierender, weil die Überzeugungen (beliefs) selbst Teil des Gleichgewichts sind .

Zusammenfassung und Ausblick

Teil 7 hat die Spieltheorie um die Dimension der unvollständigen Information erweitert. Harsanyos Transformation macht aus einem Spiel, in dem die Spieler die Auszahlungen der anderen nicht kennen, ein Spiel, in dem die Natur zu Beginn einen Typ wählt und alle die Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen. Das Bayessche Nash-Gleichgewicht verlangt, dass jeder Spieler seinen Erwartungsnutzen maximiert, gegeben seine Überzeugungen über die Typen der anderen. Auktionen und das Lemons-Modell sind die wichtigsten Anwendungen; Signale und Screening sind die strategischen Antworten auf Informationsasymmetrie.

Teil 8 wird die Serie abschließen: die evolutionäre Spieltheorie. Sie lockert die Annahme vollständiger Rationalität und fragt, welche Verhaltensmuster sich in einer Population durchsetzen, wenn die Akteure nicht kalkulieren, sondern einfach diejenigen sind, die überleben. Das Taube-Falke-Spiel und die evolutionär stabile Strategie werden im Zentrum stehen.

Quellen

• Akerlof, George A.: „The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism“. In: Quarterly Journal of Economics 84(3), 1970, S. 488–500. (Klassisches Modell der adversen Selektion; zitiert nach .)
• Harsanyi, John C.: „Games with Incomplete Information Played by ‚Bayesian‘ Players“, Parts I–III. In: Management Science 14, 1967/68, S. 159–182, 320–334, 486–502. (Grundlegende Transformation unvollständiger Information in Bayessche Spiele; referiert in und .)
• Myerson, Roger B.: „Optimal Auction Design“. In: Mathematics of Operations Research 6(1), 1981, S. 58–73. (Revenue-Equivalence-Theorem; referiert in .)
• Spence, Michael: „Job Market Signaling“. In: Quarterly Journal of Economics 87(3), 1973, S. 355–374. (Signaltheorie; referiert in .)
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