Einführung in die Spieltheorie (Teil 3): Das Nash-Gleichgewicht – Stabilität als Lösungskonzept

Von DerSchneider

Einstieg: Warum „einfach nachgeben“ keine Lösung ist

Zwei Fahrer rasen auf einer schmalen Straße aufeinander zu. Wer zuerst ausweicht, verliert – er ist der „Angsthasen“, der Feigling. Weichen beide aus, haben beide verloren, aber überlebt. Weicht keiner aus, kommt es zum Crash – die Katastrophe für beide. Dieses Szenario, bekannt als Chicken Game oder Angsthasenspiel, hat eine merkwürdige Struktur: Es gibt keine Strategie, die für beide Spieler unabhängig von der Wahl des anderen optimal ist. Weicht A aus, ist es für B am besten, nicht auszuweichen. Weicht A nicht aus, ist es für B am besten, auszuweichen .

Was also ist die „Lösung“ dieses Spiels? Die Spieltheorie gibt eine Antwort, die zunächst ernüchternd klingt: Es gibt zwei stabile Ergebnisse – (A weicht aus, B weicht nicht aus) und (A weicht nicht aus, B weicht aus). In beiden Fällen kann keiner der Spieler durch einseitiges Abweichen seine Situation verbessern. Wenn A ausweicht und B nicht, hat A keinen Anreiz, doch nicht auszuweichen (dann gäbe es einen Crash), und B hat keinen Anreiz, doch auszuweichen (dann hätte er verloren). Diese Stabilität ist es, die das Nash-Gleichgewicht definiert.

Teil 2 hat gezeigt, wie man Spiele formal darstellt. Teil 3 führt nun das zentrale Lösungskonzept der nichtkooperativen Spieltheorie ein: das Nash-Gleichgewicht. Was genau ist ein Nash-Gleichgewicht? Warum ist es ein sinnvolles Kriterium? Und wo stößt es an seine Grenzen?

Die Definition: Stabilität als Kriterium

Formal ist ein Nash-Gleichgewicht eine Strategiekombination $s^{\ast }=(s_1^{\ast },\dots ,s_n^{\ast })$s∗=(s1∗​,…,sn∗​), bei der für jeden Spieler $i$i gilt: Die gewählte Strategie $s_i^{\ast }$si∗​ ist mindestens so gut wie jede andere verfügbare Strategie $s_i$si​, gegeben die Strategien der anderen Spieler $s_{-i}^{\ast }$s−i∗​ .

In Worten: Kein Spieler kann sich durch einen einseitigen Wechsel seiner Strategie besser stellen. Das Gleichgewicht ist stabil gegen individuelle Abweichung. Wichtig ist die Betonung auf „einseitig“: Es geht nicht darum, ob alle gemeinsam ein besseres Ergebnis erreichen könnten – das ist im Gefangenendilemma ja gerade der Fall –, sondern darum, ob ein Einzelner einen Anreiz hat, auszuscheren.

Diese Definition hat eine unmittelbare Konsequenz: Jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien ist auch ein Nash-Gleichgewicht . Wenn eine Strategie unabhängig von den anderen optimal ist, dann erst recht gegeben eine bestimmte Kombination der anderen. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Nash-Gleichgewicht kann auf Strategien beruhen, die nicht dominant sind – wie im Chicken Game, wo „nicht ausweichen“ nur dann optimal ist, wenn der andere ausweicht.

Das Gefangenendilemma: Nash-Gleichgewicht trotz kollektiver Irrationalität

Kehren wir zum Leitbeispiel aus Teil 1 zurück. Im Gefangenendilemma ist „gestehen“ für beide Spieler eine dominante Strategie. Das Nash-Gleichgewicht lautet (gestehen, gestehen), mit der Auszahlung (−6, −6). Beide wären mit (−1, −1) besser dran, wenn sie schwiegen – aber Schweigen ist nicht stabil. Gäbe B zu, hätte A keinen Anreiz, bei Schweigen zu bleiben. Das Gleichgewicht ist pareto-inferior: Es gibt eine andere Kombination, die beide besser stellt, aber nicht erreicht wird, weil jeder Einzelne einen Anreiz hat, abzuweichen .

Dies ist der Kern des Dilemmas: Das Nash-Gleichgewicht beschreibt einen Zustand, aus dem niemand allein ausbrechen kann, auch wenn alle gemeinsam besser dran wären. Die Stabilität des Gleichgewichts ist also keine Garantie für kollektive Rationalität – sie ist lediglich eine Aussage über individuelle Anreize.

Das Hirschjagd-Spiel: Wenn Kooperation stabil ist

Das Gefangenendilemma ist nicht die einzige Struktur, in der Nash-Gleichgewichte eine Rolle spielen. Das Hirschjagd-Spiel (Hirschjagd) zeigt einen anderen Fall. Zwei Jäger können gemeinsam einen Hirsch erlegen (hohe Auszahlung für beide: 5, 5) oder jeder für sich einen Hasen jagen (niedrige, aber sichere Auszahlung: 2, 2). Wenn einer Hirsch jagt und der andere Hase, geht der Hirschjäger leer aus (0), während der Hasenjäger seinen Hasen erlegt (4) .

Die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien sind (Hirsch, Hirsch) und (Hase, Hase). Beide sind stabil: Wenn beide Hirsch jagen, hat keiner einen Anreiz, allein auf Hasenjagd umzusteigen (dann gäbe es keinen Hirsch, und der Abweichler hätte nur den Hasen, also 2 statt 5). Wenn beide Hase jagen, hat keiner einen Anreiz, allein auf Hirschjagd umzusteigen (dann ginge er leer aus, 0 statt 2).

Das Hirschjagd-Spiel ist lehrreich, weil es zeigt, dass Kooperation stabil sein kann – anders als im Gefangenendilemma. Der Unterschied liegt in der Struktur der Auszahlungen: Kooperation ist hier riskant, aber wenn sie gelingt, wird sie belohnt. Das Problem ist nicht die Instabilität der Kooperation, sondern die Unsicherheit darüber, ob der andere kooperiert. Wenn ich nicht weiß, ob der andere Hirsch jagt, ist Hase die sichere Wahl. Kooperation erfordert Vertrauen oder Koordination – und genau das macht das Spiel zu einem Koordinationsspiel mit Kooperationsoption .

Die Existenz des Gleichgewichts: Nashs Satz

Eine Frage, die sich unmittelbar stellt: Hat jedes Spiel ein Nash-Gleichgewicht? Die Antwort ist nein – zumindest nicht in reinen Strategien. Schere-Stein-Papier hat kein Gleichgewicht in reinen Strategien: Jede feste Wahl kann vom Gegner ausgebeutet werden. Wenn ich immer Schere spiele, wählt der andere Stein und gewinnt. Es gibt keine Kombination reiner Strategien, bei der keiner einen Anreiz hat, abzuweichen.

John Nash bewies jedoch 1950, dass jedes endliche Spiel mindestens ein Nash-Gleichgewicht besitzt, wenn man gemischte Strategien zulässt . Gemischte Strategien sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den reinen Strategien – im Schere-Stein-Papier-Spiel wäre die gemischte Strategie (1/3, 1/3, 1/3) ein Gleichgewicht: Wenn der andere mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Option wählt, ist es für mich gleichgültig, was ich wähle, und umgekehrt. Keiner hat einen Anreiz, die Wahrscheinlichkeiten zu ändern .

Dieser Existenzsatz ist einer der wichtigsten Beiträge Nashs zur Spieltheorie. Er garantiert, dass das Lösungskonzept nicht ins Leere läuft: Für jede strategische Situation gibt es zumindest eine stabile Kombination – wenn man bereit ist, Randomisierung zuzulassen. Die Bedeutung gemischter Strategien wird in Teil 4 ausführlich behandelt.

Die Grenzen des Nash-Gleichgewichts: Multiplizität und Auswahl

Das Nash-Gleichgewicht hat eine Eigenschaft, die seine Anwendung in konkreten Situationen erschwert: Es ist oft nicht eindeutig. Das Chicken Game hat zwei Gleichgewichte. Das Hirschjagd-Spiel hat zwei. Das Koordinationsspiel aus Teil 2 (Verabredung am Hauptbahnhof) hat zwei. In solchen Fällen sagt die Spieltheorie nicht, welches Gleichgewicht erreicht wird – sie sagt nur, dass eines dieser Zustände stabil ist.

Hier beginnt die Frage der Gleichgewichtsauswahl. Thomas Schelling hat den Begriff des Fokuspunkts geprägt: In vielen Situationen gibt es Konventionen, Signale oder „prominente“ Lösungen, die eine der Gleichgewichtsalternativen auszeichnen . Wenn zwei Freunde sich in einer fremden Stadt verabreden wollen und nicht wissen, welchen Ausgang sie wählen sollen, könnte der „Hauptausgang“ (der größere, bekanntere) zum Fokuspunkt werden – nicht weil er spieltheoretisch ausgezeichnet ist, sondern weil er kognitiv salient ist.

Die Spieltheorie allein kann diese Auswahl nicht leisten. Sie liefert die Menge der stabilen Zustände; welche davon erreicht werden, hängt von Faktoren ab, die außerhalb des formalen Modells liegen: von Geschichte, Konvention, Kommunikation, Institutionen. Rieck betont in seinem Lehrbuch genau diesen Punkt: Das Nash-Gleichgewicht ist ein Rationalitätserfordernis – aber es ist kein vollständiges Prognoseinstrument .

Die Risiko-Dominanz: Wenn Stabilität nicht genug ist

Ein weiteres Problem der Gleichgewichtsauswahl zeigt sich im Hirschjagd-Spiel. Das Gleichgewicht (Hirsch, Hirsch) ist payoff-dominant: Es gibt beiden Spielern eine höhere Auszahlung (5 statt 2). Das Gleichgewicht (Hase, Hase) ist risiko-dominant: Es ist weniger riskant, weil die Auszahlung nicht davon abhängt, ob der andere kooperiert .

Welches Gleichgewicht wird gewählt? Die Spieltheorie hat verschiedene Kriterien entwickelt. Das Nash-Produkt berechnet für jedes Gleichgewicht das Produkt der Verluste, die ein Spieler erleidet, wenn er vom Gleichgewicht abweicht und der andere beim Gleichgewicht bleibt. Ein höheres Nash-Produkt bedeutet geringeres Risiko. Im Hirschjagd-Beispiel kann (Hase, Hase) risiko-dominant sein, obwohl (Hirsch, Hirsch) payoff-dominant ist .

Harsanyi und Selten argumentieren, dass bei vollständiger Rationalität und Common Knowledge die Payoff-Dominanz Vorrang haben sollte: Wenn jeder weiß, dass jeder rational ist, und jeder weiß, dass jeder das payoff-dominante Gleichgewicht erkennt, dann werden alle es wählen . Diese Argumentation setzt jedoch eine starke Annahme voraus – die Common-Knowledge-Annahme der Rationalität. In der Realität ist diese Annahme oft verletzt, und dann kann Risiko-Dominanz entscheidend werden.

Die Common-Knowledge-Annahme: Eine unverzichtbare Voraussetzung

Das Nash-Gleichgewicht als Lösungskonzept ruht auf einer Annahme, die oft übersehen wird: Common Knowledge. Damit ein Spieler rational eine Gleichgewichtsstrategie wählen kann, muss er nicht nur die Regeln des Spiels kennen, sondern auch wissen, dass die anderen sie kennen, dass die anderen wissen, dass er sie kennt, und so weiter. Zudem muss er wissen, dass alle rational handeln – und dass alle wissen, dass alle rational handeln .

Diese Annahme ist in experimentellen Spielen oft verletzt. Menschen wählen nicht immer die Gleichgewichtsstrategie, selbst wenn sie sie erkennen. Im Ultimatumspiel etwa wäre es „rational“, jedes noch so niedrige Angebot anzunehmen (ein Euro ist besser als null), aber Menschen lehnen unfaire Angebote oft ab – und die Anbieter antizipieren das und machen fairere Angebote . Das Nash-Gleichgewicht des Ultimatumspiels (Anbieter bietet das Minimum, Empfänger nimmt an) beschreibt eine Welt perfekter Rationalität, die mit der beobachteten Welt nicht übereinstimmt.

Das ist keine Widerlegung des Konzepts – es ist eine Erinnerung an seine Anwendungsbedingungen. Das Nash-Gleichgewicht ist ein Modell, kein Abbild der Realität. Es zeigt, was unter bestimmten Annahmen folgt; ob diese Annahmen in einer konkreten Situation erfüllt sind, ist eine empirische Frage.

Anwendung: Das Bertrand-Oligopol als Nash-Gleichgewicht

Ein wirtschaftliches Beispiel zeigt die Nützlichkeit des Konzepts. Im Bertrand-Duopol konkurrieren zwei Firmen über den Preis. Jede kann einen hohen oder niedrigen Preis wählen. Die Auszahlungen seien so, dass „niedriger Preis“ für jede Firma dominant ist – unabhängig davon, was die andere tut. Das Nash-Gleichgewicht lautet (niedrig, niedrig), mit niedrigen Gewinnen für beide.

Dies ist das Gefangenendilemma in Oligopolform: Beide Firmen wären mit hohen Preisen besser dran, aber keiner kann sich darauf verlassen, dass die andere hoch bleibt. Das Gleichgewicht beschreibt die Stabilität des Wettbewerbsdrucks – und erklärt, warum Kartelle ohne bindende Absprachen instabil sind. Die Spieltheorie sagt nicht voraus, dass Firmen immer niedrige Preise wählen (empirisch gibt es Kartelle), aber sie zeigt, warum sie einen Anreiz haben, davon abzuweichen.

Zusammenfassung und Ausblick

Teil 3 hat das zentrale Lösungskonzept der nichtkooperativen Spieltheorie eingeführt. Das Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination, bei der kein Spieler durch einseitiges Abweichen besser gestellt wird. Es ist ein Stabilitätskriterium, kein Optimierungskriterium: Ein Gleichgewicht kann pareto-inferior sein (Gefangenendilemma), und es kann mehrere Gleichgewichte geben (Chicken, Hirschjagd, Koordination). Nash bewies, dass jedes endliche Spiel mindestens ein Gleichgewicht in gemischten Strategien besitzt. Die Anwendung des Konzepts setzt Common Knowledge der Rationalität voraus – eine Annahme, die in der Realität oft verletzt ist.

Teil 4 wird die gemischten Strategien vertiefen: Warum ist Randomisierung rational? Wie berechnet man gemischte Gleichgewichte? Und was bedeutet es, wenn ein Spiel kein Gleichgewicht in reinen Strategien hat? Das Schere-Stein-Papier-Spiel und das Elfmeterschießen werden als Beispiele dienen.

Quellen

• Rieck, Christian: Spieltheorie: Eine Einführung. 17. Auflage. Eschborn: Christian Rieck Verlag, 2021. (Kapitel 5.1: „Nash-Gleichgewicht“; insbesondere 5.1.1 „Wann ist das Nash-Gleichgewicht sinnvoll?“ und 5.1.2 „Nash-Gleichgewicht als Rationalitätserfordernis“ .)
• Goethe-Universität Frankfurt: „I.1.2 Dominante Strategien und Nash-Gleichgewichte“. Online: itp.uni-frankfurt.de (abgerufen am 30.10.2026). Formale Definition des Nash-Gleichgewichts, Verhältnis zu dominanten Strategien .
• Goethe-Universität Frankfurt: „Das Nash-Gleichgewicht“ (Folien). Online: itp.uni-frankfurt.de (abgerufen am 30.10.2026). Definition, Gefangenendilemma, Hirschjagd .
• Universität des Saarlandes: „Spieltheorie – Kapitel 2″. Online: nestor.uni-saarland.de (abgerufen am 30.10.2026). Koordinationsspiele, Fokuspunkte (Schelling), multiplizierte Gleichgewichte .
• Ludwig-Maximilians-Universität München: „Spieltheorie – Vorlesung Winter 2009/10″. Online: et.econ.uni-muenchen.de (abgerufen am 30.10.2026). Nashs Existenzsatz, gemischte Strategien, IESDS und Nash-Gleichgewicht .
• FernUniversität Hagen: „Diskussionsbeitrag Nr. 360″. Online: fernuni-hagen.de (abgerufen am 30.10.2026). Payoff-Dominanz vs. Risiko-Dominanz, Nash-Produkt, Common-Knowledge-Annahme .
• Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR): „Koordinationsspiele“. Online: elib.dlr.de (abgerufen am 30.10.2026). Hirschjagd-Spiel, Chicken Game, Definition und Gleichgewichte .
• Zenodo: „Spieltheorie – Unterrichtsmaterial“. Online: zenodo.org (abgerufen am 30.10.2026). Gemischte Strategien, Schere-Stein-Papier, Ultimatumspiel, Nashs Existenzsatz .
• Goethe-Universität Frankfurt: „Replikatordynamik und evolutionäre Spieltheorie“. Online: itp.uni-frankfurt.de (abgerufen am 30.10.2026). Hirschjagd als evolutionäres Spiel, ESS und Nash-Gleichgewicht .