Einführung in die Spieltheorie (Teil 5): Dynamische Spiele und Rückwärtsinduktion – Wenn Entscheidungen aufeinander aufbauen

Von DerSchneider

Einstieg: Das Ultimatum, das die Theorie auf den Kopf stellt

Stellen Sie sich vor, Sie und ein Fremder erhalten gemeinsam 100 Euro. Sie sind derjenige, der den Vorschlag machen darf: Sie schlagen eine Aufteilung vor, und der andere entscheidet, ob er annimmt oder ablehnt. Lehnt er ab, erhalten beide nichts. Nehmen Sie an, der andere sei ein rationaler Nutzenmaximierer, der nur auf seinen eigenen Geldbetrag schaut. Was sollten Sie vorschlagen?

Die spieltheoretische Antwort, die sich aus der Rückwärtsinduktion ergibt, ist ebenso eindeutig wie verstörend: Sie sollten ihm einen Cent anbieten (oder das Minimum, das die Spielregeln zulassen). Denn der andere steht vor der Wahl, einen Cent zu nehmen oder nichts zu bekommen. Ein Cent ist besser als nichts – also wird er annehmen. Und weil Sie das wissen, können Sie ihm den kleinsten Betrag anbieten, den er gerade noch akzeptiert.

Die Realität sieht anders aus. In unzähligen Experimenten seit den 1980er Jahren zeigen Menschen ein anderes Verhalten: Als Anbieter machen sie typischerweise Angebote im Bereich von 40 bis 50 Prozent. Und als Empfänger lehnen sie niedrige Angebote – etwa unter 20 Prozent – oft ab, selbst wenn sie dadurch selbst leer ausgehen .

Dieser Widerspruch zwischen theoretischer Vorhersage und beobachtetem Verhalten ist einer der bekanntesten Befunde der experimentellen Wirtschaftsforschung. Er markiert zugleich die Stärke und die Grenze der Rückwärtsinduktion: Sie liefert unter bestimmten Annahmen eine präzise Lösung – aber diese Annahmen sind in der Realität oft nicht erfüllt.

Teil 4 hat gemischte Strategien behandelt. Teil 5 wendet sich nun den dynamischen Spielen zu: Situationen, in denen Entscheidungen sequenziell erfolgen, in denen ein Spieler auf die Züge des anderen reagieren kann und in denen die zeitliche Struktur für das Ergebnis entscheidend ist.

Was ein dynamisches Spiel ausmacht

In den bisher behandelten Spielen haben die Spieler gleichzeitig entschieden. Die Normalform (Matrix) war die natürliche Darstellung. In dynamischen Spielen hingegen zieht ein Spieler nach dem anderen. Die Extensivform (Spielbaum, Teil 2) ist hier die angemessene Darstellung, weil sie die Reihenfolge der Züge und die Informationsstände der Spieler explizit macht.

Formal besteht ein dynamisches Spiel mit vollständiger Information aus: einer Menge von Spielern, einer Reihenfolge der Züge, den Aktionen, die an jedem Entscheidungsknoten verfügbar sind, den Auszahlungen an den Endknoten und der Annahme, dass jeder Spieler weiß, an welchem Knoten er sich befindet, wenn er am Zug ist . „Perfekte Information“ bedeutet, dass kein Spieler im Unklaren darüber ist, welche Züge zuvor gemacht wurden – eine Annahme, die für Schach oder das Ultimatumspiel gilt, nicht aber für Kartenspiele, bei denen man die Karten des Gegners nicht kennt.

Die Methode: Rückwärtsinduktion

Die Rückwärtsinduktion ist das Standardverfahren zur Lösung dynamischer Spiele mit vollständiger Information. Die Idee ist einfach: Man beginnt am Ende des Spiels und arbeitet sich rückwärts zum Anfang vor.

Konkret: Man betrachtet den letzten Entscheidungsknoten. Der Spieler, der dort am Zug ist, wählt die Aktion, die ihm die höchste Auszahlung verspricht. Diese Wahl wird als „beste Antwort“ festgehalten und der Knoten durch das resultierende Ergebnis ersetzt. Dann geht man einen Schritt zurück zum vorletzten Knoten und wiederholt das Verfahren – unter der Annahme, dass der Spieler dort die bereits ermittelten optimalen Entscheidungen der nachfolgenden Spieler antizipiert. Dies setzt man fort, bis man an der Wurzel des Spiels angekommen ist .

Das Ergebnis dieses Verfahrens heißt Rückwärtsinduktionsergebnis (RIE). Es beschreibt eine Kombination von Strategien, bei der jeder Spieler an jedem seiner Entscheidungsknoten optimal handelt, gegeben die Strategien der anderen. Für endliche Spiele mit perfekter Information gilt: Das Rückwärtsinduktionsergebnis ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht – eine Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts, die ausschließt, dass Spieler an Knoten, die im Gleichgewicht gar nicht erreicht werden, irrationale (nicht-optimale) Pläne haben .

Das Ultimatumspiel: Die formale Analyse

Das Ultimatumspiel ist das paradigmatische Beispiel für Rückwärtsinduktion. Zwei Spieler – nennen wir sie Anne (Anbieterin) und Bob (Empfänger) – teilen einen Betrag von 1 Euro. Anne wählt einen Anteil $a_1\in [0,1]$a1​∈[0,1] für sich; Bob erhält den Rest $1-a_1$1−a1​. Bob kann das Angebot annehmen („ja“) oder ablehnen („nein“). Bei Annahme erhalten beide ihre Anteile; bei Ablehnung erhalten beide 0 .

Schritt 1: Bobs Entscheidung. Bob steht am letzten Knoten. Wenn Anne einen Anteil $a_1<1$a1​<1 angeboten hat, erhält Bob bei Annahme $1-a_1>0$1−a1​>0, bei Ablehnung 0. Seine beste Antwort ist eindeutig: annehmen. Wenn Anne $a_1=1$a1​=1 angeboten hat, erhält Bob bei Annahme 0 – genau so viel wie bei Ablehnung. In diesem Fall ist er indifferent; sowohl „ja“ als auch „nein“ (und jede gemischte Strategie) sind beste Antworten .

Schritt 2: Annes Entscheidung. Anne antizipiert Bobs Verhalten. Wenn sie $a_1<1$a1​<1 wählt, wird Bob annehmen, und sie erhält $a_1$a1​. Wenn sie $a_1=1$a1​=1 wählt, ist Bob indifferent. Anne kann dann nicht sicher sein, dass Bob annimmt – es sei denn, sie geht davon aus, dass Bob bei Indifferenz „ja“ wählt (was eine mögliche, aber nicht zwingende Annahme ist). Wenn Anne davon ausgeht, dass Bob mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit $p$p annimmt, ist ihr erwarteter Nutzen bei $a_1=1$a1​=1 gleich $p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p$p⋅1+(1−p)⋅0=p. Für $p=1$p=1 ist dies 1 – besser als jedes $a_1<1$a1​<1. Für $p<1$p<1 kann sie durch ein etwas kleineres Angebot einen sicheren Nutzen erzielen .

Das Rückwärtsinduktionsergebnis lautet daher: Anne bietet a1=1a1​=1 an (oder das Maximum, das sie sich nehmen kann), und Bob nimmt an. Bob erhält 0 – genau so viel, wie er bei Ablehnung bekäme. Die Analyse zeigt: Das Ergebnis ist pareto-effizient (niemand kann besser gestellt werden, ohne den anderen schlechter zu stellen), aber extrem ungleich. Der Anbieter eignet sich die gesamte Summe an, weil der Empfänger keine glaubwürdige Drohung hat, ein Angebot abzulehnen, das ihm immerhin noch einen positiven Betrag sichert .

Warum die Theorie und die Empirie auseinanderfallen

Die experimentelle Evidenz ist eindeutig und robust: Menschen verhalten sich im Ultimatumspiel nicht so, wie die Rückwärtsinduktion es vorhersagt. Anbieter machen großzügigere Angebote (typisch 40–50 Prozent), und Empfänger lehnen niedrige Angebote ab, obwohl sie dadurch selbst auf Geld verzichten .

Für diese Diskrepanz gibt es mehrere Erklärungen. Erstens: Fairness-Präferenzen. Menschen haben nicht nur Präferenzen über ihren eigenen Konsum, sondern auch über die Verteilung der Ergebnisse. Ein Angebot von 10 Prozent für den Empfänger wird als unfair wahrgenommen, und die Ablehnung ist ein Ausdruck der Präferenz für Fairness – auch wenn sie materiell kostspielig ist .

Zweitens: Die Einmaligkeit der Situation. Das Laborexperiment ist eine einmalige Interaktion mit einem Fremden. In der Realität interagieren Menschen wiederholt mit denselben Personen. In wiederholten Spielen kann es rational sein, sich einen Ruf als „hart“ aufzubauen, um langfristig bessere Angebote zu erzwingen. Die Ablehnung eines niedrigen Angebots ist dann eine Investition in Reputation .

Drittens: Kulturelle Normen. Anthropologische Studien zeigen, dass das Verhalten im Ultimatumspiel stark von kulturellen Kontexten abhängt. In kleinen, isolierten Gesellschaften mit wenig Austausch außerhalb der Familie (etwa den Machiguenga in Peru) sind die Angebote niedriger und die Ablehnungsraten geringer als in westlichen Gesellschaften. In Gesellschaften mit ausgeprägten Kooperations- und Tauschnormen (etwa den Lamalera-Walfängern) sind die Angebote großzügiger, aber auch die Ablehnungsraten höher – weil die Normen, die das Teilen regeln, strikter sind .

Viertens: Die Common-Knowledge-Annahme. Die Rückwärtsinduktion setzt voraus, dass beide Spieler wissen, dass beide rational sind, dass beide wissen, dass beide wissen, und so weiter. Diese Annahme ist im Labor oft verletzt. Empfänger lehnen ab, weil sie die Rationalität des Anbieters nicht als gegeben hinnehmen – oder weil sie selbst nicht rein materiell rational sind.

Ein zweites Beispiel: Das again wiederholte Gefangenendilemma

Die Rückwärtsinduktion ist nicht auf das Ultimatumspiel beschränkt. Ein klassisches Anwendungsbeispiel ist das endlich wiederholte Gefangenendilemma. Wenn das Spiel genau $T$T Runden dauert (mit bekanntem $T$T), argumentiert die Rückwärtsinduktion wie folgt: In der letzten Runde ist die Situation identisch mit dem einmaligen Spiel – beide Spieler haben einen Anreiz zu gestehen. Da beide das wissen, ist auch in der vorletzten Runde Geständnis optimal, weil die letzte Runde ohnehin nicht kooperativ sein wird. Diese Logik setzt sich bis zur ersten Runde fort: Das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht ist, in jeder Runde zu gestehen .

Dieses Ergebnis ist intuitiv unbefriedigend, weil es der Beobachtung widerspricht, dass Menschen in wiederholten Interaktionen oft kooperieren. Die Erklärung liegt darin, dass die Rückwärtsinduktion ein sehr starkes Rationalitäts- und Wissen-Erfordernis hat. Wenn die Spieler die Anzahl der Runden nicht genau kennen oder wenn sie nicht sicher sind, dass der andere rational ist, kann Kooperation stabil sein. Davon wird in Teil 6 ausführlich die Rede sein.

Die Grenzen der Rückwärtsinduktion

Drei Einschränkungen sind für das Verständnis zentral.

Erstens: Die Rückwärtsinduktion setzt vollständige Information voraus. Wenn ein Spieler nicht weiß, welche Auszahlungen der andere hat oder welche Züge zuvor gemacht wurden, ist das Verfahren nicht direkt anwendbar. Spiele mit unvollständiger oder imperfekter Information erfordern andere Lösungskonzepte (Teil 7).

Zweitens: Die Rückwärtsinduktion setzt voraus, dass die Spieler die Struktur des Spiels vollständig kennen – insbesondere das Ende. Bei Spielen mit unendlichem Horizont (oder unbekanntem Ende) versagt das Verfahren. Das ist kein technisches Detail: Viele reale Interaktionen haben kein absehbares Ende, und die Annahme eines bekannten Endes kann das Ergebnis qualitativ verändern.

Drittens: Die Rückwärtsinduktion liefert oft Ergebnisse, die kontraintuitiv oder empirisch unplausibel sind. Das Ultimatumspiel ist das bekannteste Beispiel. Ein anderes ist das Tausendfüßler-Spiel, in dem die Rückwärtsinduktion zu einem sofortigen Abbruch führt, obwohl beide Spieler durch Fortsetzung besser dran wären. Solche Ergebnisse sind nicht „falsch“ – sie zeigen, was unter bestimmten Annahmen folgt. Aber sie erinnern daran, dass die Annahmen der Prüfung bedürfen.

Zusammenfassung und Ausblick

Teil 5 hat dynamische Spiele und die Rückwärtsinduktion als zentrales Lösungsverfahren eingeführt. Die Rückwärtsinduktion beginnt am Ende des Spielbaums und arbeitet sich unter der Annahme optimalen Verhaltens der nachfolgenden Spieler zum Anfang vor. Für endliche Spiele mit vollständiger Information liefert sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Das Ultimatumspiel zeigt sowohl die Stärke des Verfahrens (es liefert eine präzise Vorhersage) als auch seine Grenze (die Vorhersage stimmt mit beobachtetem Verhalten nicht überein). Die Diskrepanz verweist auf Fairness-Präferenzen, Reputationseffekte, kulturelle Normen und die Fragilität der Rationalitätsannahme.

Teil 6 wird sich den wiederholten Spielen zuwenden: Warum kooperieren Menschen, obwohl das einmalige Gefangenendilemma anderes nahelegt? Wie kann Kooperation in einer Welt egoistischer Akteure stabil sein? Die Antwort liegt in der Zukunft: Wenn die Interaktion fortgesetzt wird, verändert sich die Anreizstruktur grundlegend. Robert Axelrods Turnier und die Tit-for-Tat-Strategie werden im Zentrum stehen.

Quellen

• Rieck, Christian: Spieltheorie: Eine Einführung. 17. Auflage. Eschborn: Christian Rieck Verlag, 2021. (Kapitel 5.2–5.3 zur Rückwärtsinduktion und zum teilspielperfekten Gleichgewicht.)
• Technische Universität Dortmund: „Dynamische Spiele unter vollständiger Information“. Vorlesungsfolien, WS 2025/26. Online: moodle.tu-dortmund.de (abgerufen am 30.10.2026). Definition der Reaktionsfunktion, Rückwärtsinduktionsergebnis, Ultimatumspiel .
• Technische Universität Dortmund: „Das Ultimatum Spiel – Rückwärtsinduktion“. Vorlesungsnotizen, WS 2025/26. Online: moodle.tu-dortmund.de (abgerufen am 30.10.2026). Schrittweise Analyse des Ultimatumspiels, Diskussion der Skepsis gegenüber der Übertragung auf menschliche Entscheidungen .
• Cambridge University Press: „Backward induction: limitations and difficulties“. In: Game Theory (Kapitel 21). Online: cambridge.org (abgerufen am 30.10.2026). Experimentelle Evidenz zum Ultimatumspiel, Fairness, Reputation, anthropologische Studien .
• Max-Planck-Institut für evolutionäre Anthropologie: „Sequential games with complete information I: Backward Induction“. Übungsblatt. Online: web.evolbio.mpg.de (abgerufen am 30.10.2026). Definition der Rückwärtsinduktion, Beweis der Nash-Eigenschaft für endliche Spiele mit perfekter Information .
• Hungarian Academy of Sciences: „Ultimatum Game – empirical evidence“. In: Game Theory (Buchmanuskript). Online: real.mtak.hu (abgerufen am 30.10.2026). Meta-Analyse der experimentellen Ergebnisse, kulturelle Unterschiede .