Einführung in die Spieltheorie (Teil 6): Wiederholte Spiele und Kooperation – Warum die Zukunft die Gegenwart verändert

Von DerSchneider

Einstieg: Das Paradox, das keines sein müsste

Teil 5 endete mit einem ernüchternden Befund: Im endlich wiederholten Gefangenendilemma führt die Rückwärtsinduktion zu dem Ergebnis, dass rationale Spieler in jeder Runde defektieren – selbst dann, wenn das Spiel hundert oder tausend Runden dauert. Die Logik ist zwingend: In der letzten Runde gibt es keinen Anreiz zur Kooperation, also wird defektiert. Da beide das wissen, gibt es auch in der vorletzten Runde keinen Anreiz, und so weiter bis zur ersten Runde .

Und dennoch: In der realen Welt kooperieren Menschen ständig. Firmen halten Preisabsprachen ein (jedenfalls eine Zeit lang), Menschen halten Versprechen, Nationen schließen Verträge. Wenn die Spieltheorie Recht hätte, wäre all das irrational. Ist sie also falsch?

Nein – aber die Annahme eines bekannten Endes ist in vielen realen Situationen unrealistisch. Wer nicht weiß, ob und wann die Interaktion endet, hat einen Grund, kooperativ zu sein: Die Aussicht auf zukünftige Runden verändert die Anreize der Gegenwart. Dies ist die zentrale Einsicht der Theorie wiederholter Spiele. Robert Axelrod hat sie in den 1980er Jahren mit einem ebenso einfachen wie folgenreichen Experiment popularisiert: einem Computer-Turnier, in dem Strategien gegeneinander antraten – und in dem eine Strategie gewann, die so simpel war, dass sie in vier Zeilen Code passte.

Teil 6 erklärt, warum Kooperation in einer Welt egoistischer Akteure stabil sein kann, welche Bedingungen dafür nötig sind und wo die Grenzen dieser Erklärung liegen.

Endlich vs. unendlich: Der entscheidende Unterschied

Die Spieltheorie unterscheidet zwei Formen der Wiederholung. Beim endlich wiederholten Spiel ist die Anzahl der Runden $T$T bekannt und endlich. Hier greift die Rückwärtsinduktion, und das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht besteht in durchgängiger Defektion . Dieses Ergebnis ist logisch zwingend, aber es hat eine merkwürdige Konsequenz: Selbst wenn $T=1000$T=1000 ist, ändert sich nichts am Ergebnis. Die Aussicht auf 999 weitere Runden kooperativen Verhaltens wiegt die eine Runde am Ende nicht auf, weil beide wissen, dass die letzte Runde defektiv sein wird.

Beim unendlich wiederholten Spiel gibt es kein bekanntes Ende. Formal bedeutet das: Die Spieler diskontieren zukünftige Auszahlungen mit einem Faktor $\delta \in (0,1)$δ∈(0,1), oder – äquivalent – sie gehen davon aus, dass das Spiel mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit nach jeder Runde weitergeht . In diesem Fall versagt die Rückwärtsinduktion, weil es keinen letzten Knoten gibt, an dem man beginnen könnte. Und genau hier wird Kooperation möglich.

Die Intuition ist einfach: Wenn ich heute kooperiere und der andere morgen defektiert, kann ich ihn übermorgen bestrafen. Die Drohung zukünftiger Bestrafung macht den kurzfristigen Gewinn aus Defektion unattraktiv. Damit diese Drohung glaubwürdig ist, muss die Zukunft wichtig genug sein – der Diskontfaktor $\delta$δ muss einen Schwellenwert überschreiten. Je geduldiger die Spieler (je höher $\delta$δ), desto leichter ist Kooperation stabil .

Axelrods Turnier: Die Geburt von Tit-for-Tat

Robert Axelrod, Politikwissenschaftler an der University of Michigan, stellte 1980 eine einfache Frage: Wenn viele verschiedene Strategien im wiederholten Gefangenendilemma gegeneinander antreten, welche setzt sich durch? Er lud Forscher aus Psychologie, Ökonomie, Politikwissenschaft, Mathematik und Soziologie ein, Computerprogramme einzusenden. Vierzehn Programme kamen zusammen, Axelrod fügte ein fünfzehntes hinzu („Zufall“), und alle traten in einem Rundenturnier gegeneinander an – 200 Runden pro Paarung .

Der Gewinner war das kürzeste Programm: Tit-for-Tat („Wie du mir, so ich dir“). Die Strategie ist denkbar einfach: Kooperiere in der ersten Runde. Danach tue genau das, was der Gegner in der vorherigen Runde getan hat. Wer kooperiert, wird mit Kooperation belohnt; wer defektiert, wird mit Defektion bestraft – aber nur für eine Runde. Danach ist die Tür zur Kooperation wieder offen .

Axelrod identifizierte vier Eigenschaften, die Tit-for-Tat auszeichneten. Es war freundlich: Es defektierte nie als Erster. Es war vergeltend: Es reagierte sofort auf Defektion. Es war verzeihend: Es kehrte zur Kooperation zurück, sobald der andere dazu bereit war. Und es war einfach: Seine Logik war für den Gegner durchschaubar, was die Bildung stabiler Erwartungen ermöglichte .

Axelrod veranstaltete ein zweites Turnier, diesmal mit 62 Einsendungen. Die Teilnehmer kannten die Ergebnisse des ersten Turniers und konnten ihre Strategien anpassen. Viele versuchten, Tit-for-Tat zu schlagen – indem sie „Tit-for-Two-Tats“ einsandten (das erst nach zwei Defektionen zurückschlägt) oder indem sie Strategien entwickelten, die speziell auf die Ausbeutung von Tit-for-Tat ausgelegt waren. Das Ergebnis: Tit-for-Tat gewann erneut . Die spezialisierten „Tit-for-Tat-Killer“ schnitten schlecht ab, weil sie gegen andere Strategien versagten.

Die Lektion aus Axelrods Turnieren ist nicht, dass Tit-for-Tat die „beste“ Strategie ist – man kann sie schlagen, wenn man weiß, dass der Gegner sie spielt. Die Lektion ist, dass in einer Population unterschiedlicher Strategien bestimmte Eigenschaften systematisch zum Erfolg führen: Freundlichkeit, Vergeltungsbereitschaft, Verzeihung und Klarheit.

Das Folk-Theorem: Kooperation ist nicht nur möglich, sondern vielfältig

Axelrods Turniere waren experimentell. Die formale Spieltheorie liefert den theoretischen Unterbau: das Folk-Theorem (so genannt, weil es lange vor seiner formalen Veröffentlichung „allgemein bekannt“ war). Es besagt, dass in unendlich wiederholten Spielen mit hinreichend geduldigen Spielern jede Auszahlungskombination, die für alle Beteiligten besser ist als die minimax-Sicherheitsstufe, als Gleichgewicht erreicht werden kann .

Für das Gefangenendilemma bedeutet das: Nicht nur gegenseitige Kooperation ist ein Gleichgewicht, sondern auch viele andere Muster – kooperiere drei Runden, defektiere eine, kehre zur Kooperation zurück, und so weiter. Das Folk-Theorem zeigt, dass die Spieltheorie keine eindeutige Vorhersage liefert, welches Kooperationsmuster sich einstellt. Es zeigt nur, dass die Menge der möglichen Gleichgewichte groß ist. Welches erreicht wird, hängt von Konventionen, Institutionen und der Geschichte der Interaktion ab.

Die Fragilität der Kooperation: Rauschen und Fehler

Axelrods Turnier fand in einer rauschfreien Umgebung statt: Jede Aktion wurde korrekt ausgeführt und korrekt beobachtet. In der Realität gibt es Missverständnisse, Fehler und unklare Signale. Was passiert mit Tit-for-Tat, wenn ein Spieler versehentlich defektiert, obwohl er kooperieren wollte?

Die Antwort ist ernüchternd: Tit-for-Tat kann in eine Endlosspirale gegenseitiger Defektion geraten. A defektiert versehentlich. B bestraft mit Defektion. A, der glaubt, B habe grundlos defektiert, bestraft zurück. B bestraft die Bestrafung. Und so weiter – ohne dass einer der beiden die ursprüngliche Absicht hatte . In der Stanford Encyclopedia of Philosophy wird berichtet, dass Tit-for-Tat in einem Turnier mit 10-prozentiger Fehlerwahrscheinlichkeit nur den sechsten Platz belegte – geschlagen von großzügigeren Strategien wie „Tit-for-Two-Tats“, die erst nach zwei Defektionen zurückschlagen .

Die Lehre: Kooperation ist unter idealen Bedingungen stabil, aber fragil gegenüber Rauschen. Institutionen, die klare Kommunikation ermöglichen, Fehler verzeihen und Vertrauen aufbauen, sind keine zivilisatorischen Extras, sondern Bedingungen für stabile Kooperation.

Anwendung: Kartelle, Klima und die Grenzen der Kooperation

Die Logik wiederholter Spiele erklärt, warum Kartelle eine Zeit lang funktionieren können. Zwei Firmen, die über viele Perioden interagieren, haben einen Anreiz, hohe Preise zu halten: Die kurzfristige Gewinnsteigerung durch Preisunterbietung wird durch die Aussicht auf einen zukünftigen Preiskrieg aufgewogen. Solange die Firmen die Zukunft hoch genug bewerten (niedriger Diskontsatz) und Absprachen beobachtbar sind, kann Kooperation stabil sein. Sobald jedoch ein Unternehmen die Interaktion als endlich betrachtet – etwa wenn ein Manager kurz vor der Pensionierung steht – oder wenn Preisänderungen schwer zu beobachten sind, bricht die Kooperation zusammen.

Ähnlich beim Klima: Zwei Länder, die über viele Perioden interagieren, könnten kooperieren (Emissionsreduktion), wenn die zukünftigen Schäden des Klimawandels hoch genug bewertet werden und die Emissionen des anderen beobachtbar sind. Die Schwierigkeit liegt nicht nur in der Anzahl der Spieler (Folk-Theorem gilt für zwei Spieler, bei vielen Spielern wird Kooperation schwieriger), sondern auch in der Beobachtbarkeit und der Glaubwürdigkeit von Sanktionen. Ohne Institutionen, die Verstöße öffentlich machen und bestrafen, bleibt Kooperation prekär.

Zusammenfassung und Ausblick

Teil 6 hat gezeigt, dass die Zukunft die Gegenwart verändert. Im endlich wiederholten Spiel führt die Rückwärtsinduktion zu durchgängiger Defektion; im unendlich wiederholten Spiel (oder bei hinreichend ungewissem Ende) kann Kooperation stabil sein. Axelrods Turniere etablierten Tit-for-Tat als eine Strategie, die unter diversen Bedingungen erfolgreich ist – freundlich, vergeltend, verzeihend, einfach. Das Folk-Theorem zeigt, dass viele Kooperationsmuster Gleichgewichte sein können. Die Fragilität gegenüber Rauschen erinnert daran, dass Kooperation institutioneller Stützung bedarf.

Teil 7 wird sich den Spielen mit unvollständiger Information zuwenden: Was passiert, wenn die Spieler die Auszahlungen oder Typen der anderen nicht kennen? Auktionen und der Gebrauchtwagenmarkt („Lemons“) werden als Beispiele dienen – und das Konzept des Bayesschen Gleichgewichts wird eingeführt.

Quellen

• Axelrod, Robert: The Evolution of Cooperation. New York: Basic Books, 1984. (Grundlegendes Werk zu Axelrods Turnieren und Tit-for-Tat.)
• Axelrod, Robert: „More Effective Choice in the Prisoner’s Dilemma“. In: Journal of Conflict Resolution 24(3), 1980, S. 379–403. (Bericht über das zweite Turnier, Sieg von Tit-for-Tat, Eigenschaften freundlich/vergeltend/verzeihend/einfach .)
• Axelrod, Robert: „The Emergence of Cooperation among Egoists“. In: American Political Science Review 75(2), 1981, S. 306–318. (Formale Analyse der Bedingungen für collective stability .)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: „Prisoner’s Dilemma“. Online: plato.stanford.edu (abgerufen am 30.10.2026). Bericht über Donningers Turnier mit Rauschen, Tit-for-Tat auf Platz 6, Tit-for-Two-Tats als Sieger .
• Heifetz, Aviad: Game Theory: Interactive Strategies in Economics and Management. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. Kapitel 23: „Repeated Games“. (Diskontfaktor, unendlich wiederholtes Gefangenendilemma, Drohphasen .)
• Leininger, Wolfgang: Spieltheorie-Skript. Goethe-Universität Frankfurt. Online: itp.uni-frankfurt.de (abgerufen am 30.10.2026). Folk-Theorem, endlich vs. unendlich wiederholte Spiele, Rückwärtsinduktion .
• FH Wedel: „Spieltheorie – Ausarbeitung: Robert Axelrod Turnier“. Online: intern.fh-wedel.de (abgerufen am 30.10.2026). Detaillierte Darstellung von Axelrods Turnieren, Tit-for-Tat, Tit-for-Two-Tats, Rundenanzahl .
• Luce, R. Duncan / Raiffa, Howard: Games and Decisions. New York: Wiley, 1957. (Klassisches Ergebnis zur endlichen Wiederholung des Gefangenendilemmas .)
• Nature: „Reviving, reproducing, and revisiting Axelrod’s second tournament“. In: npj Complexity (2026). Online: nature.com (abgerufen am 30.10.2026). Replikation des zweiten Turniers, Tit-for-Tat gewinnt erneut .