Gleichungen lösen – Die Kunst des Waagen-Modells
Gleichungen sind wie eine Waage, die im Gleichgewicht sein muss. Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen tun. So findest du heraus, was die unbekannte Zahl x ist.
Die Waage als Modell
Stell dir eine Balkenwaage vor:
- Links: 2 Äpfel + 1 kg
- Rechts: 5 kg
- Die Waage ist im Gleichgewicht
Als Gleichung: 2x + 1 = 5 (x steht für einen Apfel)
Ziel: Herausfinden, wie schwer ein Apfel ist.
Die Grundregeln für Gleichungen
- Du darfst auf beiden Seiten das Gleiche tun – die Waage bleibt im Gleichgewicht
- Ziel ist es, x allein auf eine Seite zu bekommen
- Alles, was du tust, musst du auf beiden Seiten tun
Einfache Gleichungen lösen – Schritt für Schritt
Beispiel 1: x + 5 = 12
| Schritt | Rechnung | Erklärung |
|---|---|---|
| 1. | x + 5 = 12 | Ausgangsgleichung |
| 2. | x + 5 – 5 = 12 – 5 | Auf beiden Seiten 5 abziehen |
| 3. | x = 7 | Fertig! |
Probe: 7 + 5 = 12 ✓
Beispiel 2: 3x = 15
| Schritt | Rechnung | Erklärung |
|---|---|---|
| 1. | 3x = 15 | Ausgangsgleichung |
| 2. | 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3 | Auf beiden Seiten durch 3 teilen |
| 3. | x = 5 | Fertig! |
Probe: 3 × 5 = 15 ✓
Beispiel 3: 2x + 3 = 11
| Schritt | Rechnung | Erklärung |
|---|---|---|
| 1. | 2x + 3 = 11 | Zuerst die +3 wegbekommen |
| 2. | 2x + 3 – 3 = 11 – 3 | Auf beiden Seiten 3 abziehen |
| 3. | 2x = 8 | Jetzt durch 2 teilen |
| 4. | 2x ÷ 2 = 8 ÷ 2 | Auf beiden Seiten durch 2 |
| 5. | x = 4 | Fertig! |
Probe: 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11 ✓
Gleichungen mit Klammern
Beispiel: 3(x + 2) = 15
| Schritt | Rechnung | Erklärung |
|---|---|---|
| 1. | 3(x + 2) = 15 | Zuerst Klammer auflösen |
| 2. | 3x + 6 = 15 | 3 × x und 3 × 2 |
| 3. | 3x + 6 – 6 = 15 – 6 | Auf beiden Seiten 6 abziehen |
| 4. | 3x = 9 | Durch 3 teilen |
| 5. | x = 3 | Fertig! |
Probe: 3(3 + 2) = 3 × 5 = 15 ✓
Gleichungen mit x auf beiden Seiten
Beispiel: 5x + 3 = 2x + 12
| Schritt | Rechnung | Erklärung |
|---|---|---|
| 1. | 5x + 3 = 2x + 12 | Alle x auf eine Seite bringen |
| 2. | 5x – 2x + 3 = 2x – 2x + 12 | Auf beiden Seiten 2x abziehen |
| 3. | 3x + 3 = 12 | Jetzt Zahlen auf die andere Seite |
| 4. | 3x + 3 – 3 = 12 – 3 | Auf beiden Seiten 3 abziehen |
| 5. | 3x = 9 | Durch 3 teilen |
| 6. | x = 3 | Fertig! |
Probe: 5×3 + 3 = 15 + 3 = 18 und 2×3 + 12 = 6 + 12 = 18 ✓
Die geheimen Tricks
Trick 1: Umkehraufgaben
- Aus + wird – (wenn du es auf die andere Seite bringst)
- Aus – wird +
- Aus × wird ÷
- Aus ÷ wird ×
Trick 2: Die Probe
Setze dein Ergebnis immer in die ursprüngliche Gleichung ein. Stimmt beide Seiten überein? Dann hast du richtig gerechnet!
Trick 3: Bei Kommazahlen
Wenn Brüche oder Kommazahlen vorkommen, kannst du die ganze Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, um sie wegzubekommen.
Beispiel mit Brüchen:
text
x/2 + 3 = 7 | × 2 (ganze Gleichung mal 2) x + 6 = 14 | -6 x = 8
Übungsaufgaben
Aufgabe 1: x – 7 = 15
Aufgabe 2: 4x = 32
Aufgabe 3: 3x + 5 = 20
Aufgabe 4: 2(x – 3) = 12
Aufgabe 5: 7x – 4 = 3x + 16
Lösungen:
- x – 7 = 15 | +7 → x = 22
- 4x = 32 | ÷4 → x = 8
- 3x + 5 = 20 | -5 → 3x = 15 | ÷3 → x = 5
- 2(x – 3) = 12 | ÷2 → x – 3 = 6 | +3 → x = 9
- 7x – 4 = 3x + 16 | -3x → 4x – 4 = 16 | +4 → 4x = 20 | ÷4 → x = 5
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